치환적분에 대한 정리

정의1

$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$일때

열린 초입방체(open hypercube) :

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$와 임의의 $\delta\in (0,\infty)$에 대해

$Q_n(x,\delta) = \displaystyle \prod_{i=1}^n (x_i - \delta,x_i+\delta)$를 중심이 $x$이고 변의 길이가 $2\cdot \delta$인 $n$차원 열린 초입방체로 정의한다.

모든 $n$차원 열린 초입방체는 공상자가 아닌 $n$차원 열린상자이다.

닫힌 초입방체(closed hypercube) :

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$와 임의의 $\delta\in (0,\infty)$에 대해

$Q_n[x,\delta] = \displaystyle \prod_{i=1}^n [x_i - \delta,x_i+\delta]$를 중심이 $x$이고 변의 길이가 $2\cdot \delta$인 $n$차원 닫힌 초입방체로 정의한다.

모든 $n$차원 닫힌 초입방체는 퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자이다.

 

 

 

정리1

$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in \mathbb{R}^n$와 모든 $\delta\in (0,\infty)$에 대해 $n$차원 초입방체의 부피는 $vol(Q_n[x,\delta]) = (2\cdot \delta)^n =vol(Q_n(x,\delta))$이다.

2. 모든 $x\in \mathbb{R}^n$와 모든 $\delta\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(Q_n(x,\delta))=Q_n[x,\delta]$이고 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(Q_n[x,\delta])=Q_n(x,\delta)$이다.

3. 모든 $x\in \mathbb{R}^n$와 모든 $\delta\in (0,\infty)$에 대해 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린공과 닫힌공은

$Q_n(x,\frac{\delta}{\sqrt{n}}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,\delta)} \subseteq Q_n(x,\delta)$이고 $Q_n[x,\frac{\delta}{\sqrt{n}}] \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B[x,\delta]} \subseteq Q_n[x,\delta]$이다.

4. 모든 $x\in \mathbb{R}^n$와 모든 $\delta,\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $Q_n(x,\delta)\subseteq Q_n[x,\delta] \subseteq Q_n(x,\delta+\epsilon) \subseteq Q_n[x,\delta+\epsilon]$이다.

5. 퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자 $B$와 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 어떤 $k_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$과 어떤 $\delta_\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여 

$B \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{k_\epsilon} Q_n[x_{j,\epsilon},\delta_\epsilon]$이고 $\displaystyle \sum_{j=1}^{k_\epsilon} vol(Q_n[x_{j,\epsilon},\delta_\epsilon]) < vol(B) + \epsilon$인 $x_{1,\epsilon},x_{2,\epsilon},\cdots,x_{k_\epsilon,\epsilon}\in \mathbb{R}$이 존재한다.

6. 공상자가 아닌 $n$차원 열린상자 $B$와 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 어떤 $k_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$과 어떤 $\delta_\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여 

$B \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{k_\epsilon} Q_n(x_{j,\epsilon},\delta_\epsilon)$이고 $\displaystyle \sum_{j=1}^{k_\epsilon} vol(Q_n(x_{j,\epsilon},\delta_\epsilon)) < vol(B) + \epsilon$인 $x_{1,\epsilon},x_{2,\epsilon},\cdots,x_{k_\epsilon,\epsilon}\in \mathbb{R}$이 존재한다.

증명

1.

$x = (x(1),x(2),\cdots,x(n))$일때 초입방체의 정의와 상자 정리와 부피의 정의로

$vol(Q_n[x,\delta]) = (x(1) + \delta - x(1) + \delta)\cdot (x(2)+\delta -x(2) +\delta)\cdot\,\cdots\,\cdot(x(n)+\delta-x(n)+\delta) = (2\cdot \delta)^n $이고

$vol(Q_n(x,\delta)) = (x(1) + \delta - x(1) + \delta)\cdot (x(2)+\delta -x(2) +\delta)\cdot\,\cdots\,\cdot(x(n)+\delta-x(n)+\delta) = (2\cdot \delta)^n $이다.

2.

$x = (x(1),x(2),\cdots,x(n))$일때 초입방체의 정의와 상자 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(Q_n(x,\delta)) = \displaystyle \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\prod_{i=1}^n(x(i)-\delta,x(i)+\delta) ) = \prod_{i=1}^n[x(i)-\delta,x(i)+\delta]=Q_n[x,\delta]$이고

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(Q_n[x,\delta]) = \displaystyle \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\prod_{i=1}^n[x(i)-\delta,x(i)+\delta] ) = \prod_{i=1}^n(x(i)-\delta,x(i)+\delta)=Q_n(x,\delta)$이다.

3.

$x = (x(1),x(2),\cdots,x(n))$일때 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 

모든 $y = (y(1),y(2),\cdots,y(n)) \in Q_n(x,\frac{\delta}{\sqrt{n}})$는 $y(i) \in (x(i)-\frac{\delta}{\sqrt{n}},x(i)+\frac{\delta}{\sqrt{n}})$이므로 

$x(i) - \dfrac{\delta}{\sqrt{n}} < y(i) < x(i) + \dfrac{\delta}{\sqrt{n}}$이 되어 $- \dfrac{\delta}{\sqrt{n}} < y(i) - x(i) < \dfrac{\delta}{\sqrt{n}}$이고

절댓값 정리로 $|x(i)- y(i)|=|y(i) - x(i)| < \dfrac{\delta}{\sqrt{n}}$임에 따라 $|x(i)- y(i)|^2 < \dfrac{\delta^2}{n}$이고

$\displaystyle d_n(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x(i)- y(i)|^2} < \sqrt{ \sum_{i=1}^n \dfrac{\delta^2}{n}} = \sqrt{\delta^2} = \delta$가 되어 열린공의 정의로 $y\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,\delta)}$이므로

$Q_n(x,\frac{\delta}{\sqrt{n}}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,\delta)}$이다.

모든 $y = (y(1),y(2),\cdots,y(n))\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,\delta)}$는 $d_n(x,y) < \delta$이므로

$\displaystyle |y(i) - x(i)|= |x(i)-y(i)|=\sqrt{|x(i)-y(i)|^2}\le \sqrt{\sum_{i=1}^n |x(i)- y(i)|^2} = d_n(x,y) < \delta$가 되어

$-\delta < y(i) - x(i) < \delta$이고 $x(i)-\delta < y(i) < x(i) +\delta$임에 따라 $y(i) \in (x(i)-\delta,x(i)+\delta)$이므로

$y=(y(1),y(2),\cdots,y(n)) \in \displaystyle \prod_{i=1}^n(x(i) -\delta,x(i)+\delta) = Q_n(x,\delta)$가 되어 $Q_n(x,\frac{\delta}{\sqrt{n}}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,\delta)}\subseteq Q_n(x,\delta)$이다.

폐포 정리와 거리공간 정리와 거리공간 정리와 2번과 열린공 정리로

$ Q_n[x,\frac{\delta}{\sqrt{n}}] = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(Q_n(x,\frac{\delta}{\sqrt{n}})) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,\delta)}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B[x,\delta]} = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,\delta)}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(Q_n(x,\delta)) = Q_n[x,\delta] \text{ 이다.} $

4.

$x = (x(1),x(2),\cdots,x(n))$일때 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 

$x(i)- (\delta+\epsilon) =x(i) - \delta - \epsilon < x(i)-\delta < x(i) < x(i) + \delta < x(i) + \delta + \epsilon = x(i) +(\delta +\epsilon)$이므로 

$(x(i)-\delta, x(i)+\delta) \subseteq [x(i)-\delta,x(i)+\delta] \subseteq (x(i) - (\delta +\epsilon),x(i) +(\delta+\epsilon)) \subseteq [x(i) - (\delta+\epsilon),x(i) + (\delta+\epsilon)] \text{ 이 되어}$

$Q_n(x,\delta)\subseteq Q_n[x,\delta] \subseteq Q_n(x,\delta+\epsilon) \subseteq Q_n[x,\delta+\epsilon]$이다.

5. 

퇴화상자의 정의와 닫힌상자의 정의로 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a(i),b(i)]$이고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a(i) < b(i)$인 닫힌구간 $[a(i),b(i)]$가 존재하여

$l(i) = b(i) -a(i) > 0$일때 상자 정리와 부피의 정의로 어떤 $\delta \in (0,\infty)$에 대해 

$(l(1) + \delta) \cdot (l(1) + \delta)\cdot \, \cdots \, \cdot (l(n) +\delta) = l(1)\cdot l(2)\cdot \, \cdots \, \cdot l(n) + \dfrac{\epsilon}{2} = vol(B) + \dfrac{\epsilon}{2}$이고

$\delta_\epsilon = \dfrac{\delta}{4} > 0$에 대해 $\dfrac{l(i)}{ 2\cdot \delta_\epsilon}\ge 0$이므로

바닥 정리와 바닥 정리로 $0 =\lfloor 0\rfloor \le \left \lfloor \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon}\right \rfloor\le \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon} < \left \lfloor \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon}\right \rfloor +1$이 되어 $p_i = \left \lfloor \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon}\right \rfloor +1\in \mathbb{Z}^+$일때

모든 $j_i = 0,1,2,\cdots, p_i$에 대해 $c_i(j_i) =a(i) + j_i\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon$이면 

$c_i(0) - \delta_\epsilon < c_i(0) = a(i) + 0 \cdot 2 \cdot \delta_\epsilon = a(i)$이고

$\begin{align*}b(i) & =a(i) + b(i) - a(i)=a(i) + l(i) =a(i) + \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon} \cdot 2\cdot \delta_\epsilon \\[0.5em]&< a(i) + \left ( \left \lfloor \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon} \right \rfloor +1 \right )\cdot 2\cdot \delta_\epsilon = a(i) + p_i\cdot 2\cdot \delta_\epsilon = c_i(p_i) \\[0.5em]& < c_i(p_i) +\delta_\epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$0 <  j_i$일때

$\begin{align*}c_i(j_i-1) + \delta_\epsilon&=a(i) + (j_i -1)\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon +\delta_\epsilon\\[0.5em]&= a(i) + j_i\cdot 2\cdot \delta_\epsilon - 2\cdot \delta_\epsilon + \delta_\epsilon \\[0.5em]&= a(i) + j_i\cdot 2\cdot \delta_\epsilon -\delta_\epsilon \\[0.5em]&= c_i(j_i) -\delta_\epsilon\text{ 이고} \end{align*}$

$j_i < p_i$일때

$\begin{align*}c_i(j_i) + \delta_\epsilon &= a(i) + j_i\cdot 2\cdot \delta_\epsilon + \delta_\epsilon \\[0.5em]&= a(i) + j\cdot 2\cdot \delta_\epsilon +2\cdot \delta_\epsilon - \delta_\epsilon \\[0.5em]&= a(i) + (j +1)\cdot 2\cdot \delta_\epsilon -\delta_\epsilon \\[0.5em]&= c_i(j_i+1)-\delta_\epsilon \text{ 임에 따라}\end{align*}$

$[a(i),b(i)] \subseteq [c_i(0) -\delta_\epsilon,c_i(0) +\delta_\epsilon] \cup [c_i(1)-\delta_\epsilon,c_i(1)+\delta_\epsilon]\cup \cdots \cup [c_i(p_i)-\delta_\epsilon,c_i(p_i)+\delta_\epsilon]$이고 

$\begin{align*} \sum_{j_i=0}^{p_i} ((c_i(j_i) + \delta_\epsilon) - (c_i(j_i) - \delta_\epsilon)) & = \sum_{j_i=0}^{p_i-1} ((c_i(j_i) + \delta_\epsilon) - (c_i(j_i) - \delta_\epsilon)) + ((c_i(p_i) + \delta_\epsilon) - (c_i(p_i) - \delta_\epsilon)) \\[0.5em] & = \sum_{j_i=0}^{p_i-1} ((c_i(j_i+1) - \delta_\epsilon) - (c_i(j_i) - \delta_\epsilon)) + ((c_i(p_i) + \delta_\epsilon) - (c_i(p_i) - \delta_\epsilon)) \\[0.5em] & = ((c_i(p_i -1 +1) - \delta_\epsilon) - (c_i(0) - \delta_\epsilon)) + ((c_i(p_i) + \delta_\epsilon) - (c_i(p_i) - \delta_\epsilon)) \\[0.5em] & = c_i(p_i) - \delta_\epsilon - c_i(0) + \delta_\epsilon + c_i(p_i) + \delta_\epsilon - c_i(p_i) + \delta_\epsilon \\[0.5em] & = - c_i(0) + \delta_\epsilon + c_i(p_i) + \delta_\epsilon \\[0.5em] & = c_i(p_i) - c_i(0) + 2\cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & = a(i) + p_i\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon - a(i) + 2\cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & = (p_i + 1)\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & = \left ( \left \lfloor \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon}\right \rfloor +1 +1 \right )\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & \le \left ( \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon} +2 \right )\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & \qquad = \dfrac{l(i)}{2\cdot \delta_\epsilon} \cdot 2 \cdot \delta_\epsilon + 4 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & \qquad = l(i) + 4 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & \qquad = l(i) + 4 \cdot \dfrac{\delta}{4} \\[0.5em] & \qquad = l(i) + \delta \text{ 이다.} \end{align*}$

함수 정리로 전단사함수 $\psi : \mathbb{Z}_{(p_1+1)\cdot (p_2+1)\cdot\,\cdots\,\cdot (p_n+1)}^+\to \mathbb{Z}_{p_1+1}^+\times \mathbb{Z}_{p_2+1}^+\times \cdots\times \mathbb{Z}_{p_n+1}^+$가 존재하여 

$k_\epsilon = (p_1+1)\cdot (p_2+1)\cdot\,\cdots\,\cdot (p_n+1)$일때 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 함수 $\psi_i : \mathbb{Z}_{k_\epsilon}^+\to \mathbb{Z}_{p_i+1}^+$가

모든 $j=1,2,\cdots,k_\epsilon$에 대해 $\psi(j) = (\psi_1(j),\psi_2(j),\cdots,\psi_n(j))$이고 모든 $j_i = 0,1,2,\cdots, p_i$에 대해

$c(j_1,j_2,\cdots,j_n) = (c_1(j_1),c_2(j_2),\cdots,c_n(j_n))$이고 $x_{j,\epsilon} = c(\psi_1(j)-1, \psi_2(j) -1,\cdots,\psi_n(j)-1)$이면

모든 $\displaystyle x = (x(1),x(2),\cdots,x(n)) \in B = \prod_{i=1}^n[a(i),b(i)]$는

$x(i) \in [a(i),b(i)] \subseteq \displaystyle \bigcup_{j_i = 0}^{p_i}[c_i(j_i) - \delta_\epsilon,c_i(j_i)+\delta_\epsilon]$이므로 

$x(i) \in [c_i(j_i) -\delta_\epsilon,c_i(j_i)+\delta_\epsilon]$인 $j_i = 0,1,2,\cdots, p_i$가 존재하여 

$\displaystyle x = (x(1),x(2),\cdots,x(n)) \in \prod_{i=1}^n[c_i(j_i)-\delta_\epsilon,c_i(j_i) + \delta_\epsilon] = Q_n(c(j_1,j_2,\cdots,j_n),\delta_\epsilon)$이고

$\displaystyle x\in \bigcup_{j_1 =0}^{p_1} \bigcup_{j_2=0}^{p_2}\cdots \bigcup_{j_n=0}^{p_n} Q_n(c(j_1,j_2,\cdots,j_n),\delta_\epsilon)$임에 따라

$\displaystyle B\subseteq \bigcup_{j_1 =0}^{p_1} \bigcup_{j_2=0}^{p_2}\cdots \bigcup_{j_n=0}^{p_n} Q_n(c(j_1,j_2,\cdots,j_n),\delta_\epsilon) = \bigcup_{j=1}^{k_\epsilon}Q_n(x_{j,\epsilon},\delta_\epsilon)$이고 

$\begin{align*} & \sum_{j=1}^{k_\epsilon} vol(Q_n(x_{j,\epsilon},\delta_\epsilon)) =\sum_{j_1 =0}^{p_1} \sum_{j_2=0}^{p_2}\cdots \sum_{j_n=0}^{p_n} vol(Q_n(c(j_1,j_2,\cdots,j_n),\delta_\epsilon)) \\[0.5em] & = \sum_{j_1 =0}^{p_1} \sum_{j_2=0}^{p_2}\cdots \sum_{j_n=0}^{p_n}  ((c_1(j_1) + \delta_\epsilon) - (c_1(j_1) - \delta_\epsilon)) \cdot ((c_2(j_2) + \delta_\epsilon) - (c_2(j_2) - \delta_\epsilon)) \cdot \, \cdots \, \cdot ((c_n(j_n) + \delta_\epsilon) - (c_n(j_n) - \delta_\epsilon)) \\[0.5em] & = \left (\sum_{j_1 =0}^{p_1} ((c_1(j_1) + \delta_\epsilon) - (c_1(j_1) - \delta_\epsilon)) \right ) \cdot \left (\sum_{j_2 =0}^{p_2} ((c_2(j_2) + \delta_\epsilon) - (c_2(j_2) - \delta_\epsilon))\right ) \cdot \, \cdots \, \cdot \left (\sum_{j_n =0}^{p_n} ((c_n(j_n) + \delta_\epsilon) - (c_n(j_n) - \delta_\epsilon)) \right )  \\[0.5em] & \le (l(1) + \delta) \cdot (l(2) + \delta)\cdot \, \cdots \, \cdot (l(n) +\delta) = l(1)\cdot l(2)\cdot \,\cdots\,\cdot l(n) + \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \lt vol(B)+ \epsilon \text{ 이다.}\end{align*}$

6.

상자 정리와 부피의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)}$는 $vol(B) = vol(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)})$이고 퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자임에 따라

5번으로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 어떤 $k_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$과 어떤 $\eta_\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)} \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{k_\epsilon} Q_n[x_{j,\epsilon},\eta_\epsilon]$이고 $\displaystyle \sum_{j=1}^{k_\epsilon} vol(Q_n[x_{j,\epsilon},\eta_\epsilon]) < vol(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)}) + \dfrac{\epsilon}{2}$인 $x_{1,\epsilon},x_{2,\epsilon},\cdots,x_{k_\epsilon,\epsilon}\in \mathbb{R}$이 존재하므로

거리공간 정리로 $(2\cdot \eta_\epsilon + \delta)^n = (2\cdot \eta_\epsilon)^n + \dfrac{\epsilon}{2\cdot k_\epsilon}$인 $\delta\in (0,\infty)$가 존재하여

$\delta_\epsilon = \eta_\epsilon + \dfrac{\delta}{2} > 0$에 대해 폐포 정리와 1, 4번으로

$B\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)} \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{k_\epsilon} Q_n[x_{j,\epsilon},\eta_\epsilon] \subseteq \bigcup_{j=1}^{k_\epsilon} Q_n(x_{j,\epsilon}, \eta_\epsilon +\tfrac{\delta}{2}) = \bigcup_{j=1}^{k_\epsilon} Q_n(x_{j,\epsilon},\delta_\epsilon)$이고

$\begin{align*} \sum_{j=1}^{k_\epsilon} vol(Q_n(x_{j,\epsilon},\delta_\epsilon)) & = \sum_{j=1}^{k_\epsilon} (2\cdot \delta_\epsilon)^n \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k_\epsilon} (2\cdot \eta_\epsilon + \delta )^n \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k_\epsilon} \left ((2\cdot \eta_\epsilon)^n + \dfrac{\epsilon}{2\cdot k_\epsilon}\right ) \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k_\epsilon} vol(Q_n[x_{j,\epsilon},\eta_\epsilon]) + \sum_{j=1}^{k_\epsilon} \dfrac{\epsilon}{2\cdot k_\epsilon} \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k_\epsilon} vol(Q_n[x_{j,\epsilon},\eta_\epsilon]) + \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \lt vol(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)}) + \dfrac{\epsilon}{2}+ \dfrac{\epsilon}{2} = vol(B) + \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리2

$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 공상자가 아닌 $n$차원 열린상자가 $B$일때

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $n$차원 열린 초입방체들의 수열 $(Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon}))_{k=1}^\infty$이 존재하여

$B \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})) < vol(B) + \epsilon$이다.

2. 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$가 $n$차원 영집합이면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $n$차원 열린 초입방체들의 수열 $(Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon}))_{k=1}^\infty$이 존재하여

$E \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})) < \epsilon$이다.

3. $E\ne \emptyset$인 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$가 $n$차원 영집합일때

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합 $K$와 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$에 대해 $E \subseteq K \subseteq U$이면 

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $n$차원 열린 초입방체들의 수열 $(Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon}))_{k=1}^\infty$이 존재하여

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})\cap E\ne \emptyset$과 $Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})\subseteq U$가 성립하고

$E \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})$와 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})) < \epsilon$이 성립한다.

증명

1.

위 정리로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 어떤 $p_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$과 어떤 $\delta_\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여 

$B \subseteq \displaystyle \bigcup_{k =1}^{p_\epsilon} Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_\epsilon)$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{p_\epsilon} vol(Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_\epsilon)) < vol(B) + \dfrac{\epsilon}{2}$인 $x_{1,\epsilon},x_{2,\epsilon},\cdots,x_{p_\epsilon,\epsilon}\in \mathbb{R}$이 존재하므로 

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$k\le p_\epsilon$일때 $\delta_{k,\epsilon} = \delta_\epsilon$으로 두고 $p_\epsilon < k$일때 임의의 $x_{k,\epsilon}\in \mathbb{R}^n$과 $\delta_{k,\epsilon} = \left (\dfrac{\epsilon}{2^{k+1 - p_\epsilon}}\right )^\frac{1}{n} > 0$으로 두면 

$B\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{p_\epsilon} Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon}) \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(x_{k,\epsilon},\delta_{k,\epsilon})$이고

위 정리와 급수 정리와 급수 정리와 급수 정리와 급수 정리와 수열 정리로 

$\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_{k,\epsilon}, \delta_{k,\epsilon})) & = \sum_{k=1}^{p_\epsilon} vol(Q_n(x_{k,\epsilon}, \delta_{k,\epsilon})) + \sum_{k = p_\epsilon + 1}^\infty vol(Q_n(x_{k,\epsilon}, \delta_{k,\epsilon})) \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^{p_\epsilon} vol(Q_n(x_{k,\epsilon}, \delta_{\epsilon})) + \sum_{k = p_\epsilon + 1}^\infty vol(Q_n(x_{k,\epsilon} , (\tfrac{\epsilon}{2^{k+1 - p_\epsilon}})^\frac{1}{n})) \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^{p_\epsilon} vol(Q_n(x_{k,\epsilon}, \delta_{\epsilon})) + \sum_{k = p_\epsilon + 1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{k+1 - p_\epsilon}} \\[0.5em] & \lt vol(B) + \dfrac{\epsilon}{2} + \sum_{k = 1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{p_\epsilon +k+1 - p_\epsilon}} \\[0.5em] & \qquad = vol(B) + \dfrac{\epsilon}{2} + \sum_{k = 1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{k +1}} \\[0.5em] & \qquad = vol(B) +\dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2}\cdot \left ( \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{2^k} - 1\right ) \\[0.5em] & \qquad = vol(B) + \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2}\cdot (2 -1) \\[0.5em] & \qquad = vol(B) + \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

2.

영집합 정리로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 

공상자가 아닌 $n$차원 열린상자들의 수열 $(B_i)_{i=1}^\infty$가 존재하여 $E \subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^\infty B_i$이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty vol(B_i) < \dfrac{\epsilon}{2}$이므로

1번과 선택 정리로 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_i \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^\infty Q_n(x_{i,j},\delta_{i,j})$이고 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty vol(Q_n(x_{i,j},\delta_{i,j})) < vol(B_i) + \dfrac{\epsilon}{2^{i+1}}$인

$n$차원 열린 초입방체들의 수열 $(Q_n(x_{i,j},\delta_{i,j}))_{j=1}^\infty$를 선택하면 가산집합 정리로

전단사함수 $\phi : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $n$차원 열린 초입방체들의 수열 $(Q_n(x_{\phi(k)},\delta_{\phi(k)}))_{k=1}^\infty$에 대해 

집합 정리로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^\infty B_i \subseteq \bigcup_{i=1}^\infty \bigcup_{j=1}^\infty Q_n(x_{i,j},\delta_{i,j}) = \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(x_{\phi(k)},\delta_{\phi(k)})$이고

급수 정리와 급수 정리와 급수 정리와 수열 정리로 

$\begin{align*}\sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_{\phi(k)},\delta_{\phi(k)} ) ) & = \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty vol(Q_n(x_{i,j},\delta_{i,j})) \\[0.5em] & \le \sum_{i=1}^\infty \left (vol(B_i) + \dfrac{\epsilon}{2^{i+1}} \right) = \sum_{i=1}^\infty vol(B_i) + \sum_{i=1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{i+1}} \\[0.5em]& < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} \cdot \left (\sum_{i=0}^\infty \dfrac{1}{2^i} - 1 \right ) = \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} \cdot (2-1) = \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

3.

거리공간 정리로 어떤 $\delta \in (0,\infty)$가 존재하여 지름이 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(B) < \delta$이고 $B\cap K\ne \emptyset$인 모든 $B\subseteq \mathbb{R}^n$는 $B\subseteq U$이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\epsilon_0 = $ $\min$$\{ \frac{\epsilon}{2}, (\frac{\delta}{\sqrt{n}})^n \} > 0$일때 

2번으로 $n$차원 열린 초입방체들의 수열 $(Q_n(x_{k},\delta_{k}))_{k=1}^\infty$이 존재하여

$E \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(x_{k},\delta_{k})$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_{k},\delta_{k})) < \epsilon_0$이므로 

위 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle (2\cdot \delta_{k})^n = vol(Q_n(x_{k},\delta_{k}))\le \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_{k},\delta_{k})) < \epsilon_0\le (\tfrac{\delta}{\sqrt{n}})^n$이 되어 

부등식 정리로 $2\cdot \delta_{k} < \dfrac{\delta}{\sqrt{n}}$이고 상자 정리와 최대원소의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(Q_n(x_{k},\delta_{k})) \le \sqrt{n}\cdot 2\cdot \delta_{k} < \delta$이다.

어떤 $N \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $N \le k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $Q_n(x_{k},\delta_{k})\cap E = \emptyset$이면

모든 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(x_{k},\delta_{k})$에 대해 $x\in Q_n(x_{k},\delta_{k})$인 $k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 

$N\le k$라고 가정할때 $x\in Q_n(x_{k},\delta_{k})\cap E = \emptyset$임에 따라 모순이므로 

$k < N$이고 $x\in \displaystyle \bigcup_{k=1}^{N-1}Q_n(x_{k},\delta_{k})$가 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{N-1} Q_n(x_k,\delta_k)$이다.

일반성을 잃지 않고 $k < N$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Q_n(x_k,\delta_k)\cap E\ne \emptyset$이라고 가정할때

$k < N$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $y_k = x_k$와 $\eta_k = \delta_k$로 두면

$Q_n(y_k,\eta_k)\cap E = Q_n(x_k,\delta_k)\cap E\ne \emptyset$과 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(Q_n(y_k,\eta_k)) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(Q_n(x_{k},\delta_{k})) < \delta$가 성립하고

$N \le k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E\ne \emptyset$이므로 $x\in E$가 존재하여 

$y_k = x$와 $\eta_k = \min \{ \frac{1}{2}\cdot (\frac{\epsilon}{2^{k+2 - N}})^\frac{1}{n} , \frac{\delta}{4\cdot \sqrt{n}}\} > 0$으로 두면

$x= y_k\in Q_n(y_k,\eta_k)$이므로 $x \in Q_n(y_k,\eta_k)\cap E$임에 따라 $Q_n(y_k,\eta_k)\cap E\ne \emptyset$이고 

상자 정리와 최소, 최대원소의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(Q_n(y_k,\eta_k)) \le \sqrt{n}\cdot 2\cdot \eta_k \le \sqrt{n}\cdot 2 \cdot \dfrac{\delta}{4\cdot \sqrt{n}} = \dfrac{\delta}{2} < \delta$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Q_n(y_k,\eta_k)\cap E \ne \emptyset$이고 $Q_n(y_k,\eta_k)\cap E \subseteq Q_n(y_k,\eta_k)\cap K$이므로 

$Q_n(y_k,\eta_k)\cap K\ne \emptyset$이고 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(Q_n(y_k,\eta_k)) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(Q_n(x_{k},\delta_{k})) < \delta$임에 따라 $Q_n(y_k,\eta_k) \subseteq U$이고 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{N-1} Q_n(x_k,\delta_k) = \bigcup_{k=1}^{ N-1}Q_n(y_k,\eta_k) \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(y_k,\eta_k) $이고

위 정리와 최소원소의 정의와 급수 정리와 급수 정리와 급수 정리와 수열 정리로 

$\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(y_k,\eta_k)) & = \sum_{k=1}^{N-1} vol(Q_n(y_k,\eta_k)) + \sum_{k = N}^\infty vol(Q_n(y_k,\eta_k)) \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^{N-1} vol(Q_n(x_k,\delta_k)) + \sum_{k = N}^\infty (2\cdot \eta_k)^n \\[0.5em] & \le \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_k,\delta_k)) + \sum_{k = N}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{ k + 2 - N}} \\[0.5em] & < \epsilon_0 + \sum_{k = 1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{ k + N -1 + 2 - N}} \\[0.5em] & \le \dfrac{\epsilon}{2} + \sum_{k = 1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{k +1}}  = \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2}\cdot \left ( \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{2^k} - 1\right ) = \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2}\cdot (2 -1) = \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $r\le k_r$이고 $Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r})\cap E \ne \emptyset$인 $k_r\in \mathbb{Z}^+$이 존재하면 

정렬성과 귀납적 정의로 $r\le k_r < k_{r+1}$이고 $n$차원 열린 초입방체들의 수열 $(Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r}))_{r=1}^\infty$이 존재하여 

$I = \{ k\in \mathbb{Z}^+ : Q_n(x_k,\delta_k)\cap E\ne \emptyset\}$에 대해 $\{ Q_n(x_k,\delta_k) : k\in I\} = \{ Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r}): r\in \mathbb{Z}^+\}$이므로 

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r})\cap E \ne \emptyset$이고 $Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r})\cap E \subseteq Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r})\cap K$이므로

$Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r})\cap K\ne \emptyset$이고 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r})) < \delta$임에 따라 $Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r}) \subseteq U$이고 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{r=1}^\infty Q_n(x_{k_r}\delta_{k_r})$과 급수 정리로 $\displaystyle \sum_{r=1}^\infty vol(Q_n(x_{k_r},\delta_{k_r})) \le \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(x_k,\delta_k)) < \epsilon_0 \le \dfrac{\epsilon}{2}<\epsilon$이 성립한다.

 

 

 

정리3

$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 단사함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능하고

$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in U$에 대해 $J\phi(x)\ne 0$일때

폐포가 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$인 임의의 $n$차원 조르당영역 $E \subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해

$\phi(E)\subseteq S$인 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\phi(E)$에서 리만적분가능하면 

모든 $x\in E$에 대해 $f_\phi(x) = f(\phi(x))$인 함수 $f_\phi : E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.

증명

역함수 정리로 $\phi(U)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 

모든 $x\in U$에 대해 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : U\to \phi(U)$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(U)\to U$이 존재하여

역함수 정리로 $\psi^{-1}$은 전단사이고

연속미분의 정의와 미분 정리와 미분 정리로 $\phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이다.

조르당영역 정리로 $\phi(E)$는 조르당영역이므로 $f$가 $\phi(E)$에서 리만적분가능함에 따라

$f$의 제한함수 $f|_{\phi(E)} : \phi(E)\to \mathbb{R}$는 $\phi(E)$에서 유계이고 리만적분가능하여

모든 $x\in E$에 대해 $\phi(x)\in \phi(E)$임에 따라 $f_\phi$는 $E$에서 유계이고

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때 르베그 판정법으로

어떤 $n$차원 영집합 $Z\subseteq \phi(E)$가 존재하여 $f|_{\phi(E)}$는 $(\phi(E),d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $y\in \phi(E)\setminus Z$에서 연속이다.

$Z = \emptyset$이면 $f|_{\phi(E)}$는 $(\phi(E),d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로 

연속함수 정리와 연속함수 정리로 $f_\phi$는 $(E,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수가 되어 르베그 판정법으로

$f_\phi$는 $E$에서 리만적분가능하고 치환 정리로 $\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.

$Z\ne \emptyset$이면 조르당영역 정리와 폐포 정리와 하이네-보렐 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이므로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(U,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어

연속함수 정리로 $\phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)})$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이고 $\phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) \subseteq \phi(U)$임에 따라 

거리공간 정리로 $\phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) \subseteq V \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)} \subseteq \phi(U)$이고 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계인 열린집합 $V$가 존재하여 

거리공간 정리와 폐포 정리와 하이네-보렐 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이다.

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이므로 거리공간 정리로

어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합인 모든 $Q\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}$의 모든 $v_1,v_2\in Q$에 대해

$d_n(\psi^{-1}(v_1),\psi^{-1}(v_2)) \le M\cdot d_n(v_1,v_2)$이고 

폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$이므로 $Z\subseteq \phi(E)\subseteq \phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) \subseteq V \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)} \subseteq \phi(U)$임에 따라 

위 정리로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $n$차원 열린 초입방체들의 수열 $(Q_n(y_k,\delta_k))_{k=1}^\infty$가 존재하여 

$Z\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(y_k,\delta_k) \subseteq V$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(y_k,\delta_k)) < \dfrac{\epsilon}{(2\cdot M\cdot \sqrt{n})^n}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $v\in Q_n(y_k,\delta_k)$는 $v,y_k \in Q_n(y_k,\delta_k) \subseteq V \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}\subseteq \phi(U)$이고 

초입방체의 정의와 거리공간 정리로 $Q_n(y_k,\delta_k)$는 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합이므로 

상자 정리와 지름의 정의와 상한의 정의와 최대원소의 정의로

$d_n(\psi^{-1}(y_k),\psi^{-1}(v))\le M\cdot d_n(y_k,v) \le M\cdot \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(Q_n(y_k,\delta_k)) \le M\cdot \sqrt{n}\cdot (2\cdot\delta_k)$가 되어 

위 정리와 열린공의 정의로 $\psi^{-1}(v)\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(\psi^{-1}(y_k), M\cdot \sqrt{n}\cdot (2\cdot \delta_k)) \subseteq Q_n(\psi^{-1}(y_k), M\cdot \sqrt{n}\cdot (2\cdot \delta_k))$이고

역함수 정리로

$\phi^{-1}(Q_n(y_k,\delta_k)) = \{ x\in U : \phi(x)\in Q_n(y_k,\delta_k)\} = \{ x\in U : \psi(x)\in Q_n(y_k,\delta_k)\} =\psi^{-1}(Q_n(y_k,\delta_k))$임에 따라

$\phi^{-1}(Q_n(y_k,\delta_k)) =\psi^{-1}(Q_n(y_k,\delta_k)) \subseteq Q_n(\psi^{-1}(y_k),M\cdot \sqrt{n}\cdot (2\cdot \delta_k))$이므로

함수 정리로 $\phi^{-1}(Z)\subseteq \displaystyle \phi^{-1}(\bigcup_{k=1}^\infty Q_n(y_k,\delta_k)) =\bigcup_{k=1}^\infty \phi^{-1}(Q_n(y_k,\delta_k)) \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(\psi^{-1}(y_k),M\cdot \sqrt{n} \cdot (2\cdot \delta_k))$이고

위 정리와 급수 정리와 수열 정리로 

$\begin{align*}\sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(\psi^{-1}(y_k),M\cdot \sqrt{n}\cdot (2\cdot \delta_k))) & = \sum_{k=1}^\infty (2\cdot M\cdot \sqrt{n}\cdot (2\cdot \delta_k))^n \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty (2\cdot M\cdot \sqrt{n})^n\cdot (2\cdot \delta_k)^n \\[0.5em] & = (2\cdot M\cdot \sqrt{n})^n \cdot \sum_{k=1}^\infty (2\cdot \delta_k)^n \\[0.5em] &= (2\cdot M\cdot \sqrt{n})^n \cdot \sum_{k=1}^\infty vol(Q_n(y_k,\delta_k)) \\[0.5em] & < (2\cdot M\cdot \sqrt{n})^n \cdot \dfrac{\epsilon}{(2\cdot M\cdot \sqrt{n})^n} = \epsilon \text{ 이 되어} \end{align*}$

영집합 정리로 $\phi^{-1}(Z)$는 $n$차원 영집합이다.

단사 정리로 $\phi^{-1}(Z)\subseteq \phi^{-1}(\phi(E)) = E \subseteq U$이고 

역함수 정리로 $\phi^{-1}(Z) = \{ x\in U : \phi(x)\in Z \} = \{ x\in U : \psi(x)\in Z\} =\psi^{-1}(Z) \subseteq U$임에 따라

함수 정리와 전사 정리로 $\phi(\phi^{-1}(Z)) = \psi(\phi^{-1}(Z)) = \psi(\psi^{-1}(Z)) = Z$가 되어 

모든 $x_0 \in E\setminus \phi^{-1}(Z)$에 대해 단사 정리로 $\phi(x_0) \in \phi(E\setminus \phi^{-1}(Z))=\phi(E)\setminus \phi(\phi^{-1}(Z)) = \phi(E) \setminus Z$이므로 

연속의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $d_n(\phi(x_0),y) < \eta$인 모든 $y\in \phi(E)$가

$|f(\phi(x_0))- f(y)| = |f|_{\phi(E)}(\phi(x_0))-f|_{\phi(E)}(y)| < \epsilon$이 되는 $\eta\in (0,\infty)$가 존재하고 

연속함수 정리로 $\phi$의 제한함수 $\phi|_E : E\to \mathbb{R}^n$는 $(E,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이므로 

$d_n(x_0,x) < \delta$인 모든 $x\in E$가 $d_n(\phi(x_0),\phi(x)) = d_n(\phi|_E(x_0),\phi|_E(x)) < \eta$가 되는 $\delta\in (0,\infty)$가 존재하여 

$\phi(x)\in \phi(E)$임에 따라 $d_n(\phi(x_0),\phi(x)) < \eta$이고 $|f_\phi(x_0)-f_\phi(x)| = | f(\phi(x_0))- f(\phi(x)) | < \epsilon$이므로 

$f_\phi$는 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x_0 \in E\setminus \phi^{-1}(Z)$에서 연속이 되어 르베그 판정법으로

$f_\phi$는 $E$에서 리만적분가능하고 치환 정리로 $\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정리4

$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 등거리변환이 $\phi : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$일때

임의의 $n$차원 조르당영역 $E \subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해

$\phi(E)\subseteq S$인 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\phi(E)$에서 리만적분가능하면 

모든 $x\in E$에 대해 $f_\phi(x) = f(\phi(x))$인 함수 $f_\phi : E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\operatorname{d}\!x$이다.

증명

거리공간 정리로 $\mathbb{R}^n$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 등거리변환의 정의로 $\phi$는 전단사이므로 

등거리변환 정리로 $\phi$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하여

$\mathbb{R}^n$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $|J\phi(x)| = 1$이고 폐포의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq \mathbb{R}^n$임에 따라

위 정리로 $f_\phi$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x = \int_E f(\phi(x))\operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정리5

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$일때

모든 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 모든 $x_0 \in \mathbb{R}^n$에 대해 $x_0 +_n E = \{ x_0 +_n x : x\in E\}$이면 다음이 성립한다.

1. $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(x_0 +_n E) = x_0 +_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$

2. $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(x_0 +_n E) = x_0 +_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$

3. $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(x_0 +_n E) = x_0 +_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}$

4. $E$가 $n$차원 조르당영역이면 $x_0 +_n E$는 $n$차원 조르당영역이고 $vol(x_0 +_n E) = vol(E)$이다.

증명

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $n$차원 유클리드 거리공간이므로

평행이동 정리로 모든 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해 $T_{x_0}(x) = x_0+_n x$인

함수 $T_{x_0}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 등거리변환이 되어

등거리변환 정리로 $T_{x_0}$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 위상동형사상이고

$(\mathbb{R}^n,d_n)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$일때 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리로 

$T_{x_0}$은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$으로의 위상동형사상이다.

1, 2, 3

위상공간 정리와 위상공간 정리로

$x_0+_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E} = T_{x_0}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial} (T_{x_0}(E))= \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(x_0+_n E)$이고

$x_0 +_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} = T_{x_0}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(T_{x_0}(E)) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(x_0+_n E) $이고

$ x_0+_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)} =T_{x_0}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(T_{x_0}(E)) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(x_0+_n E)$이다.

4.

등거리변환 정리와 등거리변환의 정의와 조르당영역 정리로 $T_{x_0}(E) = x_0 +_n E$는 $n$차원 조르당영역이고

위 정리와 적분 정리로 $\displaystyle vol(x_0+_nE) = \int_{x_0+_n E} 1\operatorname{d}\!V = \int_{T_{x_0}(E)}1\operatorname{d}\!V = \int_E 1\operatorname{d}\!V = vol(E)$이다.

 

 

 

정리6

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$일때

모든 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 모든 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $c \cdot_n E = \{ c\cdot_n x : x\in E\}$이면 다음이 성립한다.

1. $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(c\cdot_n E) = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$

2. $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(c\cdot_n E) \subseteq c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$

3. $c\ne 0$이면 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(c\cdot_n E) = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$이다.

4. $c\ne 0$이면 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(c\cdot_n E) = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}$이다.

5. $E$가 $n$차원 조르당영역이면 $c \cdot_n E$는 $n$차원 조르당영역이고 $vol(c\cdot_n E) = |c|^n \cdot vol(E)$이다.

증명

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $n$차원 유클리드 거리공간이고

$E = \emptyset$이면 $c \cdot_n E = \{ c\cdot_n x : x\in E\} = \emptyset$이고

$E\ne \emptyset$이고 $c= 0$이면 $c \cdot_n E = \{ c\cdot_n x : x\in E\} = \{ \vec{0}_n\}$이다.

$c\ne 0$이면 모든 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해 $S_c(x) = c \cdot_n x$인 함수 $S_c:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$는

$S_c(S_{\frac{1}{c}}(x)) = c\cdot_n S_\frac{1}{c}(x) = c\cdot_n (\frac{1}{c} \cdot_n x) = (c\cdot \frac{1}{c}) \cdot_n x =1\cdot_n x = x$이고 

$S_\frac{1}{c}(S_c(x)) = \frac{1}{c} \cdot_n S_c(x) = \frac{1}{c} \cdot_n( c\cdot_n x) = (\frac{1}{c}\cdot c) \cdot_n x = 1 \cdot_n x = x$이므로 

$S_c$의 역함수 $S_c^{-1} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$에 대해 $S_\frac{1}{c} = S_c^{-1}$이 되어 역함수 정리로 $S_c$는 전단사이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\lVert x-y\rVert_n = d_n(x,y) < \dfrac{\epsilon}{|c|}$인 모든 $x,y\in \mathbb{R}^n$는 노름공간의 정의로 

$d_n(S_c(x),S_c(y)) = \lVert S_c(x)-S_c(y)\rVert_n = \lVert c\cdot_n x - c\cdot_n y\rVert_n = \lVert c\cdot_n(x-y)\rVert_n = |c|\cdot \lVert x-y\rVert_n < |c|\cdot \dfrac{\epsilon}{|c|} = \epsilon\text{ 이므로}$

$S_c$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 균등연속함수이고

$S_c^{-1} =S_\frac{1}{c}$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 균등연속함수가 되어 

$S_c$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 균등동형사상임에 따라

거리공간 정리로 $S_c$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 위상동형사상이고

$(\mathbb{R}^n,d_n)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$일때 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리로 

$S_c$는 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$으로의 위상동형사상이다.

1, 2, 3, 4

$E = \emptyset$이면 거리공간 정리로 $c\cdot_n E = \emptyset = E$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 닫힌집합이므로 

폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(c\cdot_n E) =\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(\emptyset)} = \emptyset = c\cdot_n \emptyset = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(\emptyset)} = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$이고 

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(c\cdot_n E) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(\emptyset)} = \emptyset = c\cdot_n \emptyset = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(\emptyset)}= c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$이고 

경계 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(c\cdot_n E) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial \,\emptyset} = \emptyset = c\cdot_n \emptyset = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial \, \emptyset} = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}$이다.

$E \ne \emptyset$이고 $c = 0$이면 거리공간 정리로 $c\cdot_n E = \{ \vec{0}_n\}$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고

폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$임에 따라 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이므로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(c\cdot_n E) =\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\{ \vec{0}_n \}) = \{ \vec{0}_n\} = c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$이고

집적점 정리와 집적점 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\{ \vec{0}_n\}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\{ \vec{0}_n\}'} = \emptyset$이 되어 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(c\cdot_n E) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\{ \vec{0}_n\}) = \emptyset \subseteq c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$이다.

$c\ne 0$이면 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$ c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E} = S_c(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial} (S_c(E))= \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(c\cdot_n E)$이고

$c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} = S_c(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(S_c(E)) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(c\cdot_n E)$이고

$c\cdot_n \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)} =S_c(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(S_c(E)) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(c\cdot_n E)$이다.

5.

$E = \emptyset$이면 조르당영역 정리로 $c \cdot_n E = \emptyset$은 $n$차원 조르당영역이고

$vol(c\cdot_n E) = vol(\emptyset) = 0 = |c|^n\cdot 0 = |c|^n\cdot vol(\emptyset) = |c|^n \cdot vol(E)$이다.

$E\ne \emptyset$이고 $c= 0$이면 조르당영역 정리로 $c \cdot_n E = \{ \vec{0}_n\}$은 $n$차원 조르당영역이고

$vol(c\cdot_n E) = vol(\{ \vec{0}_n\}) = 0 = 0\cdot vol(E) = |c|^n \cdot vol(E)$이다.

$c\ne 0$이면 

거리공간 정리로 $\mathbb{R}^n$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이므로 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots,e_n)$일때

미분 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $S_1$의 편도함수 $\dfrac{\partial S_1}{\partial x_j} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$가 존재하여

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\dfrac{\partial S_1}{\partial x_j}(x) = e_j$이고

내부 정리와 집적점 정리와 편도함수 정리와 방향도함수 정리로

$S_c$의 편도함수 $\dfrac{\partial S_c}{\partial x_j} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$가 존재하여 $\dfrac{\partial S_c}{\partial x_j}(x) = c\cdot_n e_j$이므로 

연속함수 정리로 $\dfrac{\partial S_c}{\partial x_j}$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수임에 따라 $S_c$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하고 

$\mathbb{R}^n$에서 $S_c$의 야코비안 $JS_c: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는 행렬식 정리로 $JS_c(x) = \det (\begin{bmatrix} c & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & c && 0\\ \vdots & & \ddots &  \vdots \\ 0 &  0 &\cdots& c   \end{bmatrix})= c^n\ne 0$이다.

폐포의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq \mathbb{R}^n$이므로 조르당영역 정리로 $S_c(E) = c \cdot_n E$는 $n$차원 조르당영역이고

위 정리와 적분 정리로

$\displaystyle vol(c\cdot_n E) = \int_{c\cdot_n E} 1\operatorname{d}\!x = \int_{S_c(E)}1\operatorname{d}\!x = \int_E 1\cdot |JS_c(x)|\operatorname{d}\!x = \int_E |c|^n\operatorname{d}\!x = |c|^n\cdot vol(E)$이다.

 

 

 

정리7

임의의 집합 $X,Y$에 대해 함수가 $f : X\to Y$일때 임의의 $A,B\subseteq X$와 제한함수에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $E\subseteq A\cup B$에 대해 $f|_{A\cup B}(E) = f|_A(E\cap A)\cup f|_B(E\cap B)$이다.

2. 임의의 집합 $F$에 대해 $f|_{A\cup B}^{-1}(F) = f|_A^{-1}(F)\cup f|_B^{-1}(F)$이다.

증명

1.

모든 $y\in f|_{A\cup B}(E)$에 대해 $y = f|_{A\cup B}(x)$인 $x\in E\subseteq A\cup B$가 존재하여

$x\in A$이면 $x\in E\cap A\subseteq A$이므로 제한함수의 정의로 $y = f|_{A\cup B}(x) = f(x) = f|_A(x)\in f|_A(E\cap A)$이고 

$x\in B$이면 $x\in E\cap B\subseteq B$이므로 제한함수의 정의로 $y = f|_{A\cup B}(x) = f(x) = f|_B(x)\in f|_B(E\cap B)$가 되어

$y\in f|_A(E\cap A)\cup f|_B(E\cap B)$임에 따라 $f|_{A\cup B}(E) \subseteq f|_A(E\cap A)\cup f|_B(E\cap B)$이다.

제한함수의 정의와 함수 정리와 함수 정리로 

$f|_A(E\cap A)\subseteq f|_{A\cup B}(E\cap A) \subseteq f|_{A\cup B}(E)$이고 $f|_B(E\cap B)\subseteq f|_{A\cup B}(E\cap B) \subseteq f|_{A\cup B}(E)$이므로 

$f|_A(E\cap A)\cup f|_B(E\cap B)\subseteq f|_{A\cup B}(E)$가 되어 집합 정리로 $f|_{A\cup B}(E) = f|_A(E\cap A)\cup f|_B(E\cap B)$이다.

2.

역상의 정의로 임의의 $x\in f|_{A\cup B}^{-1}(F) \subseteq A\cup B$는 $f|_{A\cup B}(x)\in F$이므로 

$x\in A$이면 제한함수의 정의로 $f|_A(x)=f(x)=f|_{A\cup B}(x)\in F$가 되어 $x\in f|_A^{-1}(F)$이고

$x\in B$이면 제한함수의 정의로 $f|_B(x)=f(x)=f|_{A\cup B}(x)\in F$가 되어 $x\in f|_B^{-1}(F)$이므로 

$x\in f|_A^{-1}(F)\cup f|_B^{-1}(F)$임에 따라 $f|_{A\cup B}^{-1}(F) \subseteq f|_A^{-1}(F)\cup f|_B^{-1}(F)$이다.

제한함수의 정의와 함수 정리로

$f|_A^{-1}(F) = f|_{A\cup B}^{-1}(F)\cap A \subseteq f|_{A\cup B}^{-1}(F)$이고 $f|_B^{-1}(F) = f|_{A\cup B}^{-1}(F)\cap B \subseteq f|_{A\cup B}^{-1}(F)$이므로 

$f|_A^{-1}(F)\cup f|_B^{-1}(F)\subseteq f|_{A\cup B}^{-1}(F)$가 되어 집합 정리로 $f|_{A\cup B}^{-1}(F) = f|_A^{-1}(F)\cup f|_B^{-1}(F)$이다.

 

 

 

정리8

$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 단사함수 $\Phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능하고

$U$에서 $\Phi$의 야코비안 $J\Phi : U\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in U$에 대해 $J\Phi(x)\ne 0$일때 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E_k)}\subseteq U$인 $n$차원 조르당영역들의 수열 $(E_k)_{k=1}^\infty$에 대해 $E = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_k$와 $\Phi(E)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계이고

$(E,d_n)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$에 대해 $\phi_k$의 지지집합이 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)\subseteq E_k$이고 

$\Phi(E)\subseteq S$인 임의의 $S \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\Phi(E)$에서 유계이고 $\Phi(E_k)$에서 리만적분가능하면

모든 $x\in E$에 대해 $f_\Phi(x) = f(\Phi(x))$인 함수 $f_\Phi : E \to \mathbb{R}$는 $E$에서 유계이고 $E_k$에서 리만적분가능하여

$\Psi(x) = \Phi(x)$인 함수 $\Psi : E\to \Phi(E)$의 역함수 $\Psi^{-1}: \Phi(E)\to E$에 대해 

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \int_{\Phi(E_k)} f(y) \cdot \phi_k(\Psi^{-1}(y))\operatorname{d}\!y = \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k} f(\Phi(x))\cdot \phi_k(x) \cdot  |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.

증명

폐포 정리로 $E = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_k \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E_k)} \subseteq U$임에 따라 역함수 정리와 역함수 정리와 연속함수 정리로

$\Phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로 연속함수이고 $\Psi$는 $(E,d_n)$에서 $(\Phi(E),d_n)$으로의 위상동형사상이므로 

위상동형사상 정리로 $\Psi^{-1}$은 $(\Phi(E),d_n)$에서 $(E,d_n)$으로의 위상동형사상이 되어

단위분할 정리와 역함수 정리와 함수 정리로 $(\phi_k\circ \Psi^{-1})_{k=1}^\infty$은 $(\Phi(E),d_n)$에서 단위분할이고 

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(\Phi(E),d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k\circ \Psi^{-1}) = (\Psi^{-1})^{-1}(\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)) = \Psi(\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)) \subseteq \Psi(E_k) = \Phi(E_k)$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 폐포 정리로 $E_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E_k)}\subseteq U$이고 조르당영역 정리로 $\Phi(E_k)$는 $n$차원 조르당영역이므로 

함수 정리로 $\Phi(E) = \displaystyle \Phi( \bigcup_{k=1}^\infty E_k) = \bigcup_{k=1}^\infty \Phi(E_k)$이고 $\Phi(E_k)\subseteq \Phi(E)\subseteq S$가 되어

$f$가 $\Phi(E)$에서 유계이고 $\Phi(E_k)$에서 리만적분가능함에 따라

적분 정리와 급수 정리로 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \int_{\Phi(E_k)} f(y) \cdot \phi_k(\Psi^{-1}(y))\operatorname{d}\!y \in \mathbb{R}$가 존재한다.

$E = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_k\subseteq U$이고 모든 $x\in E$에 대해 $\Phi(x)\in \Phi(E)$이므로 $f_\Phi$는 $E$에서 유계가 되어

위 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f_\Phi$가 $E_k$에서 리만적분가능함에 따라

적분 정리와 급수 정리로 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k} f(\Phi(x)) \cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \in \mathbb{R}$가 존재하고 

모든 $y\in \Phi(E)$에 대해 $g_k(y) = f(y)\cdot \phi_k(\Psi^{-1}(y))$인 함수 $g_k : \Phi(E)\to \mathbb{R}$는 $\Phi(E_k)$에서 리만적분가능하므로 

위 정리로 모든 $x\in E_k \subseteq E$에 대해 $h_k(x) = g_k(\Phi(x))$인 함수 $h_k : E_k\to \mathbb{R}$는 $E_k$에서 리만적분가능하고 

$g_k(\Phi(x)) = f(\Phi(x))\cdot \phi_k(\Psi^{-1}(\Phi(x))) = f(\Phi(x))\cdot \phi_k(\Psi^{-1}(\Psi(x))) = f(\Phi(x))\cdot \phi_k(x)$임에 따라 

$\displaystyle \int_{\Phi(E_k)} f(y) \cdot \phi_k(\Psi^{-1}(y))\operatorname{d}\!y = \int_{\Phi(E_k)} g_k(y) \operatorname{d}\!y = \int_{E_k} g_k(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x  = \int_{E_k} f(\Phi(x))\cdot \phi_k(x) \cdot  |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x \text{ 가 되어}$

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \int_{\Phi(E_k)} f(y) \cdot \phi_k(\Psi^{-1}(y))\operatorname{d}\!y = \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k} f(\Phi(x))\cdot \phi_k(x) \cdot  |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정리9

$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$에 대해

함수 $\Phi : U\to \mathbb{R}^n$가 $U$에서 연속미분가능하고 $U$에서 $\Phi$의 야코비안이 $J\Phi : U\to \mathbb{R}$일때

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$인 임의의 $n$차원 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 부피가 $0$인 어떤 $Z\subseteq \mathbb{R}^n$가 존재하여

$V = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)} \setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}$에서 $\Phi$의 제한함수 $\Phi|_V : V \to \mathbb{R}^n$가 단사이고

모든 $x\in V$에 대해 $J\Phi (x)\ne 0$이면 다음이 성립한다.

1. $\Phi(E), \Phi(V)$는 $n$차원 조르당영역이다.

2. $\Phi(E)\subseteq S$인 임의의 $S \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\Phi(E)$에서 유계이고 $\Phi(V)$에서 리만적분가능하고

모든 $x\in E$에 대해 $f_\Phi(x) = f(\Phi(x))$인 함수 $f_\Phi : E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 유계이고 $V$에서 리만적분가능하면

$f$는 $\Phi(E)$에서 리만적분가능하고 $f_\Phi$는 $E$에서 리만적분가능하여 $\displaystyle \int_{\Phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = \int_E f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.

증명

조르당영역 정리로 $Z$는 조르당영역이므로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}$는 조르당영역이 되어 $vol(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}) = vol(Z) = 0$이고

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$는 조르당영역이므로 조르당영역 정리로 $V = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)} \setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}$는 조르당영역이다.

내부 정리와 폐포 정리와 거리공간 정리로

$V$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 $V = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)} \setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이므로 

조르당영역의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial V}$의 부피가 $0$이고 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial V}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$임에 따라 

부피 정리로 $\Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial V})$의 부피는 $0$이다.

제한함수의 정의로 $\Phi|_V$는 단사이고 내부 정리와 연속미분 정리로 

$\Phi|_V$는 $V$에서 연속미분가능하여 모든 $x\in V\subseteq U$에 대해 $J\Phi|_V(x) = J\Phi(x) \ne 0$이므로 

역함수 정리와 함수 정리로 $\Phi(V) = \Phi|_V(V)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.

조르당영역 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}$는 조르당영역이므로 

폐포 정리와 하이네-보렐 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}$는 $(U,d_n)$에서 콤팩트집합이고 

연속미분 정리와 연속함수 정리로 $\Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)})$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어

하이네-보렐 정리로 $\Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)})$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계인 닫힌집합이므로

폐포 정리로 $\Phi(V) \subseteq \Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)})$임에 따라 거리공간 정리로 $\Phi(V)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계이고

폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\Phi(V)) \subseteq \Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)})$이므로 경계 정리와 내부 정리와 함수 정리로 

$\begin{align*} \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\Phi(V)) & = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\Phi(V)) \setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\Phi(V)) \\[0.5em] & \subseteq \Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}) \setminus \Phi(V) \\[0.5em] & \qquad = \Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)}) \setminus \Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(V)}) \\[0.5em] & \subseteq \Phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(V)} \setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(V)}) \\[0.5em] & \qquad = \Phi( \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial V})\text{ 이고} \end{align*} $

부피 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\Phi(V))$의 부피는 $0$이 되어 $\Phi(V)$는 조르당영역이다.

$D = (E\setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)})\cup (E\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)})$일때 폐포 정리와 경계 정리로

$D = (E\setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)})\cup (E\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}) \subseteq (\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}) \cup \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}=\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}\cup \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}$이므로

조르당영역의 정의와 조르당영역 정리와 부피 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}\cup \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}$의 부피가 $0$임에 따라 $D$의 부피는 $0$이고

모든 $x\in E$에 대해 $x\notin V$이면 $x\notin \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$ 또는 $x\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(Z)}$이므로 $x\in D$가 되어 $E\subseteq V\cup D$이고

$V\cup D\subseteq E$이므로 집합 정리로 $E = V\cup D$이다.

$D\subseteq E$이므로 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(D)} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$가 되어 부피 정리로 $\Phi(D)$의 부피는 $0$이고

함수 정리로 $\Phi(E) = \Phi(V\cup D) = \Phi(V)\cup \Phi(D)$임에 따라 조르당영역 정리와 조르당영역 정리와 부피 정리로

$\Phi(E) = \Phi(V)\cup \Phi(D),V\cap D, \Phi(V)\cap \Phi(D)$는 조르당영역이고 $vol(V\cap D) = 0 = vol(\Phi(V)\cap \Phi(D))$이다.

$f$는 $\Phi(E)$에서 유계이므로 $f$는 $\Phi(D)$에서 유계가 되어

조르당영역 정리로 $vol(\Phi(D)) = 0$임에 따라 적분 정리로 $f$는 $\Phi(D)$에서 리만적분가능하고 

$f_\Phi$는 $E$에서 유계이므로 $f_\Phi$는 $D$에서 유계가 되어 

조르당영역 정리로 $vol(D) = 0$임에 따라 적분 정리로 $f_\Phi$는 $D$에서 리만적분가능하다.

적분 정리로 $f$는 $\Phi(E) = \Phi(V)\cup \Phi(D)$에서 리만적분가능하고 $f_\Phi$는 $E = V\cup D$에서 리만적분가능하므로

적분 정리로 $J\Phi$의 절댓값 $|J\Phi| : U\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능함에 따라

적분 정리로 $\displaystyle \int_{\Phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y , \int_E f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x$가 존재한다.

$V = \emptyset$이면

$E = V\cup D = \emptyset \cup D = D$이고 $\Phi(E) = \Phi(D)$이므로 $vol(E) = vol(D) = 0 = vol(\Phi(D)) = vol(\Phi(E))$임에 따라

적분 정리로 $\displaystyle \int_{\Phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = 0 = \int_E f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.

$V\ne \emptyset$이면 

모든 $x\in V$에 대해 열린공 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,r_x)}\subseteq V$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하여

초입방체의 정의와 상자 정리로 $x\in Q_n(x,\delta_x)\subseteq Q_n[x,\delta_x]\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,r_x)}\subseteq V$인 $\delta_x\in (0,\infty)$가 존재하고

선택 정리로 $\delta_x$를 선택할때 $V\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in V} Q_n(x,\delta_x)$이므로 상자 정리로 $Q_n(x,\delta_x)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합임에 따라

단위분할 정리와 집합 정리로

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_k\in V$가 유일하게 존재하고 $(V,d_n)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여

$V = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty (V\cap Q_n(x_k,\delta_{x_k})) = \bigcup_{k=1} ^\infty Q_n(x_k,\delta_{x_k})$이고 $\underset{(V,d_n)}{\operatorname{supp}}$$(\phi_k) \subseteq V\cap Q_n(x_k,\delta_{x_k})=Q_n(x_k,\delta_{x_k})$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(Q_n(x_k,\delta_{x_k}))=Q_n[x_k,\delta_{x_k}]\subseteq V$이고

상자 정리로 $Q_n(x_k,\delta_{x_k})$는 조르당영역이므로 

조르당영역 정리와 함수 정리로 $\Phi(Q_n(x_k,\delta_{x_k})) = \Phi|_V(Q_n(x_k,\delta_{x_k}))$는 조르당영역이 되어

$f$가 $\Phi(V)$에서 리만적분가능함에 따라 적분 정리로 $f$는 $\Phi(Q_n(x_k,\delta_{x_k}))$에서 리만적분가능하고 

$\Phi|_V$는 단사이므로 함수 정리로 모든 $x\in V$에 대해 $\Psi(x) = \Phi|_V(x) = \Phi(x)$인

함수 $\Psi : V\to \Phi(V)$의 역함수 $\Psi^{-1}: \Phi(V)\to V$이 존재하여 $f_\Phi$가 $V$에서 리만적분가능함에 따라

함수 정리와 역함수 정리와 단위분할 정리와 위 정리와 적분 정리로 

$\displaystyle \int_{\Phi(V)} f(y)\operatorname{d}\!y = \sum_{k=1}^\infty \int_{\Phi(Q_n(x_k,\delta_{x_k}))} f(y)\cdot \phi_k(\Psi^{-1}(y))\operatorname{d}\!y = \sum_{k=1}^\infty \int_{Q_n(x_k,\delta_{x_k})} f(\Phi(x))\cdot \phi_k(x)\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x = \int_V f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x \text{ 이고}$

적분 정리와 적분 정리로

$\begin{align*} \int_{\Phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y  & = \int_{\Phi(V)\cup \Phi(D)} f(y)\operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \int_{\Phi(V)} f(y)\operatorname{d}\!y + \int_{\Phi(D)} f(y)\operatorname{d}\!y - \int_{\Phi(V)\cap \Phi(D)}f(y)\operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \int_{\Phi(V)} f(y)\operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \int_V f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_V f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x +\int_{D} f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x - \int_{V\cap D} f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{V\cup D} f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{E} f(\Phi(x))\cdot |J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x \text{ 이다.}\end{align*}$

 

 

 

정리10(극 좌표[polar coordinate] 변환)

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^2,+_2,\cdot_2,(0,0))$이고

$(\mathbb{R}^2,+_2,\cdot_2,(0,0))$위의 점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^2,\lVert\cdot\rVert_2)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^2,d_2)$이고

실삼각함수가 $\cos,\sin : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$이고 $(\mathbb{R}^2,+_2,\cdot_2,(0,0))$의 표준순서기저 $\beta = ((1,0),(0,1))$일때

모든 $(r,\theta)\in \mathbb{R}^2$가 $\Phi(r,\theta) = (r\cdot \cos \theta, r\cdot \sin \theta)$인 함수 $\Phi : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\Phi$는 $\mathbb{R}^2$에서 연속미분가능하다.

2. $\Phi$는 $\mathbb{R}^2$에서 미분가능하고 임의의 $(r,\theta)\in \mathbb{R}^2$에서 $\Phi$의 도함수 $D\Phi(r,\theta) : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$에 대해 

$\Phi$의 야코비행렬은 $[D\Phi(r,\theta)]_\beta = \begin{bmatrix}\cos \theta & - r\cdot \sin\theta \\ \sin \theta & r\cdot \cos \theta \end{bmatrix}\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})$이다.

3. $\mathbb{R}^2$에서 $\Phi$의 야코비안 $J\Phi : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$는 모든 $(r,\theta)\in \mathbb{R}^2$에 대해 $J\Phi(r,\theta) = r$이다.

4. $\Omega = (0,\infty)\times (0,2\cdot \pi]$에 대해 $\Omega_0 = \Omega \cup \{ (0,0)\}$일때 $\Phi$의 제한함수 $\Phi|_{\Omega_0} : \Omega_0 \to \mathbb{R}^2$은 전단사이다.

5. 임의의 $r_0\in (0,\infty)$에 대해

$D(r_0) = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : \sqrt{x^2 + y^2} < r_0 \}$이고 $D[r_0] = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : \sqrt{x^2 + y^2} \le r_0 \}$일때

$\Phi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi)) = D(r_0) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\})$이고 $\Phi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi]) = D[r_0]$이다.

6. 임의의 $2$차원 조르당영역 $E\subseteq [0,\infty)\times [0,2\cdot \pi]$에 대해 $\Phi(E)$는 $2$차원 조르당영역이다.

이때 $\Phi(E)\subseteq S$인 임의의 $S \subseteq \mathbb{R}^2$에 대해 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\Phi(E)$에서 리만적분가능하고

모든 $(r,\theta)\in E$에 대해 $f_\Phi(r,\theta) = f(\Phi(r,\theta))$인 함수 $f_\Phi : E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면

$\displaystyle \int_{\Phi(E)}f(x,y) \operatorname{d}(x,y) = \int_{E} f(r\cdot \cos\theta,r\cdot\sin\theta)\cdot r \operatorname{d}(r,\theta)$이다.

증명

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^2,d_2)$는 $2$차원 유클리드 거리공간이고 거리공간 정리로 $\mathbb{R}^2$는 $(\mathbb{R}^2,d_2)$에서 열린집합이다.

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때

1, 2, 3

임의의 $(r,\theta)\in \mathbb{R}^2$에 대해 

$S_1 = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : (r,\theta) +_2 t\cdot_2 (1,0) \in \mathbb{R}^2 \}$이고 $S_2 = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : (r,\theta) +_2 t\cdot_2 (0,1) \in \mathbb{R}^2 \}$일때 

모든 $t\in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$에 대해 $(r,\theta) +_2 t\cdot_2 (1,0), (r,\theta)+_2t\cdot_2(0,1)\in \mathbb{R}^2$이므로 $S_1 = \mathbb{R}\setminus \{ 0\} = S_2$이고

함수 $\Phi_1,\Phi_2:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$가 $\Phi(r,\theta) = (r\cdot \cos \theta, r\cdot \sin \theta) = (\Phi_1(r,\theta),\Phi_2(r,\theta))$일때

함수 $g_{1,1},g_{1,2},g_{2,1},g_{2,2}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 모든 $t\in \mathbb{R}$에 대해 

$g_{1,1}(t) = \Phi_1((r,\theta)+_2t\cdot_2(1,0)) = \Phi_1(r+t,\theta) = (r+t)\cdot \cos\theta = r\cdot \cos\theta + t\cdot \cos\theta$이고 

$g_{1,2}(t) = \Phi_1((r,\theta)+_2t\cdot_2(0,1)) = \Phi_1(r,\theta+t) = r\cdot \cos(\theta+t)$이고 

$g_{2,1}(t) = \Phi_2((r,\theta)+_2t\cdot_2(1,0)) = \Phi_2(r+t,\theta) = (r+t)\cdot \sin \theta = r\cdot \sin\theta + t\cdot \sin\theta$이고 

$g_{2,2}(t) = \Phi_2((r,\theta)+_2t\cdot_2(0,1)) = \Phi_2(r,\theta+t) = r\cdot \sin(\theta+t)$이면 

상수함수 정리와 항등함수 정리와 미분 정리와 연쇄법칙과 삼각함수 정리로

$g_{1,1},g_{1,2},g_{2,1},g_{2,2}$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여 도함수 $g_{1,1}',g_{1,2}',g_{2,1}',g_{2,2}':\mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 

$g_{1,1}'(t) = 0 + (1\cdot \cos\theta + t\cdot 0) = \cos \theta$이고

$g_{1,2}'(t) = 0\cdot \cos(\theta +t) + r\cdot (\cos'(\theta +t)\cdot (0+1)) =- r\cdot \sin(\theta + t)$이고

$g_{2,1}'(t) = 0 + (1\cdot \sin\theta + t\cdot 0) = \sin\theta$이고

$g_{2,2}'(t) = 0\cdot \sin(\theta +t) + r\cdot (\sin'(\theta +t)\cdot (0+1)) = r\cdot \cos(\theta + t)$이므로

편도함수 정리로 편도함수 $\dfrac{\partial \Phi}{\partial r},\dfrac{\partial \Phi}{\partial \theta} : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$와 $\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial r},\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \theta},\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial r},\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \theta} : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$가 존재하여 

$\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial r}(r,\theta) = g_{1,1}'(0) = \cos\theta$이고 

$\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \theta}(r,\theta) = g_{1,2}'(0) = -r\cdot \sin (\theta +0) =- r\cdot \sin\theta$이고 

$\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial r}(r,\theta) = g_{2,1}'(0) = \sin\theta$이고 

$\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \theta}(r,\theta) = g_{2,2}'(0) = r\cdot \cos(\theta +0) = r\cdot \cos\theta$이고

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial r}(r,\theta) = \left ( \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial r}(r,\theta),\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial r}(r,\theta)\right ) = (\cos\theta,\sin\theta)$이고

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial \theta}(r,\theta) = \left ( \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \theta}(r,\theta),\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \theta}(r,\theta) \right ) = (-r\cdot \sin\theta,r\cdot \cos\theta)$이다.

거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리로 모든 $(r,\theta)\in \mathbb{R}^2$에 대해 

$p_1(r,\theta) = r$이고 $p_2(r,\theta) = \theta$인 함수 $p_1,p_2: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$는 $(\mathbb{R}^2,d_2)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 

삼각함수 정리와 미분 정리로 $\cos,\sin$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로 

연속함수 정리로 $\cos \circ \,p_2,\sin\circ \,p_2$는 $(\mathbb{R}^2,d_2)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수가 되어 

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial r}(r,\theta)  = (\cos\theta,\sin\theta) = ((\cos\circ \,p_2)(r,\theta), (\sin\circ \,p_2)(r,\theta))$이고 

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial \theta}(r,\theta) = (-r\cdot \sin\theta,r\cdot \cos\theta) = (-p_1(r,\theta)\cdot (\sin\circ \,p_2)(r,\theta), p_1(r,\theta)\cdot (\cos \circ\, p_2)(r,\theta))$임에 따라 

연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial \Phi}{\partial r},\dfrac{\partial \Phi}{\partial \theta}$는 $(\mathbb{R}^2,d_2)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로 

$\Phi$는 $\mathbb{R}^2$에서 연속미분가능하고 미분 정리로 $\Phi$는 $\mathbb{R}^2$에서 미분가능하여

미분 정리로 $[D\Phi(r,\theta)]_\beta = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial r}(r,\theta) & \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \theta}(r,\theta) \\ \dfrac{\partial \Phi_2}{\partial r}(r,\theta) & \dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \theta}(r,\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos \theta & - r\cdot \sin\theta \\ \sin \theta & r\cdot \cos \theta \end{bmatrix}$이므로 

야코비안의 정의와 행렬식 정리와 피타고라스 항등식으로

$J\Phi(r,\theta) = \det([D\Phi(r,\theta)]_\beta) = \cos\theta \cdot (r\cdot \cos\theta )- (-r\cdot \sin\theta) \cdot \sin\theta = r\cdot ((\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2) =r\cdot 1 = r$이다.

4.

임의의 $(r_1,\theta_1),(r_2,\theta_2)\in \Omega_0 = \Omega\cup \{ (0,0)\}$에 대해 $\Phi|_{\Omega_0}(r_1,\theta_1) = \Phi|_{\Omega_0}(r_2,\theta_2)$이면 제한함수의 정의로

$(r_1\cdot \cos\theta_1,r_1\cdot \sin\theta_1)=\Phi(r_1,\theta_1) =\Phi|_{\Omega_0}(r_1,\theta_1) = \Phi|_{\Omega_0}(r_2,\theta_2) = \Phi(r_2,\theta_2) = (r_2\cdot \cos\theta_2, r_2\cdot \sin \theta_2)$이므로 

$2$-순서쌍의 상등으로 $r_1\cdot \cos\theta_1 = r_2\cdot \cos\theta_2$와 $r_1\cdot \sin\theta_1 = r_2\cdot \sin\theta_2$가 성립하여 피타고라스 항등식으로

$\begin{align*}r_1^2 &= r_1^2\cdot ((\cos\theta_1)^2 + (\sin\theta_1)^2 ) \\[0.5em]&= (r_1\cdot \cos\theta_1)^2 + (r_1\cdot \sin\theta_1)^2\\[0.5em]& = (r_2\cdot \cos\theta_2)^2 + (r_2\cdot \sin\theta_2)^2 \\[0.5em]&= r_2^2\cdot ((\cos\theta_2)^2 + (\sin\theta_2)^2) \\[0.5em]& = r_2^2\text{ 이고}\end{align*}$

$r_1\ge 0$과 $r_2\ge 0$가 성립함에 따라 절댓값 정리로 $r_1=|r_1| = \sqrt{r_1^2} = \sqrt{r_2^2} = |r_2| = r_2$이다.

$(r_1,\theta_1)\in \{ (0,0)\}$ 또는 $(r_2,\theta_2)\in \{ (0,0)\}$이면 $r_1 = 0$ 또는 $r_2 = 0$이므로

$r_1 = 0 = r_2$가 되어 $2$-데카르트곱의 정의로 $(r_1,\theta_1),(r_2,\theta_2)\notin (0,\infty)\times (0,2\cdot\pi] = \Omega$임에 따라 

$(r_1,\theta_1),(r_2,\theta_2)\in \{ (0,0)\}$이고 $(r_1,\theta_1) = (0,0) = (r_2,\theta_2)$이다.

$(r_1,\theta_1),(r_2,\theta_2)\in \Omega = (0,\infty)\times (0,2\cdot\pi]$이면

$r_1 = r_2 > 0$이므로 $\cos\theta_1 = \cos\theta_2$와 $\sin\theta_1 = \sin\theta_2$가 성립하여 삼각함수 정리로

$-\cos(\theta_1 -\pi)=\cos\theta_1 = \cos\theta_2 = - \cos(\theta_2 - \pi)$이고 

$- \sin(\theta_1 -\pi)=\sin\theta_1 = \sin\theta_2 = - \sin(\theta_2 - \pi)$임에 따라

$\cos(\theta_1 -\pi)= \cos(\theta_2 - \pi)$와 $\sin(\theta_1 -\pi)= \sin(\theta_2 - \pi)$가 성립하고 $\theta_1 -\pi ,\theta_2 -\pi \in (-\pi,\pi]$이므로

피타고라스 항등식으로 $(\cos(\theta_1 -\pi))^2 + (\sin(\theta_1 - \pi))^2 = 1 = (\cos(\theta_2 -\pi))^2 + (\sin(\theta_2 - \pi))^2$임에 따라 

삼각함수 정리로 $\theta_1 -\pi = \theta_2 -\pi$가 되어 $\theta_1 = \theta_2$이고 $(r_1,\theta_1) = (r_2,\theta_2)$이므로 $\Phi|_{\Omega_0}$은 단사이다.

임의의 $(x,y)\in \mathbb{R}^2$에 대해 $\sqrt{x^2 + y^2} \ge 0$이므로 

$\sqrt{x^2 + y^2} = 0$이면 $x = 0 = y$가 되어 $\Phi|_{\Omega_0}(0,0) = \Phi(0,0) = (0\cdot \cos 0,0\cdot\sin0) = (0,0) = (x,y)$이고 

$\sqrt{x^2 + y^2} > 0$이면 $r =\sqrt{x^2 + y^2} $일때

$x^2+y^2=r^2 > 0$이므로 $\left (-\dfrac{x}{r}\right )^2 + \left ( -\dfrac{y}{r}\right)^2 =\dfrac{x^2}{r^2} + \dfrac{y^2}{r^2} = \dfrac{x^2+y^2}{r^2} = 1$임에 따라

삼각함수 정리와 삼각함수 정리로

$-\dfrac{x}{r} = \cos \theta_0 = -\cos (\theta_0 + \pi)$이고 $-\dfrac{y}{r} = \sin\theta_0 = -\sin(\theta_0 + \pi)$인 $\theta_0\in (-\pi,\pi]$이 존재하여 

$(r,\theta_0 + \pi) \in (0,\infty)\times (0,2\cdot \pi] = \Omega \subseteq \Omega_0$이고

$(x,y) = (r\cdot \cos(\theta_0 +\pi) , r\cdot \sin(\theta_0 + \pi)) = \Phi(r,\theta_0+\pi) = \Phi|_{\Omega_0}(r,\theta_0+\pi)$이므로 $\Phi|_{\Omega_0}$은 전사이다.

5.

모든 $(x,y)\in \Phi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi])$에 대해 $(x,y) = \Phi(r,\theta)$인 $(r,\theta)\in [0,r_0]\times [0,2\cdot\pi]$가 존재하여 

$(x,y) = \Phi(r,\theta) = (r\cdot\cos \theta,r\cdot \sin\theta)$이고 피타고라스 항등식으로

$\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{r^2\cdot (\cos\theta)^2 + r^2\cdot (\sin\theta)^2} = \sqrt{r^2\cdot ((\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2)} = \sqrt{r^2} = |r| = r\le r_0$이므로 

$(x,y)\in D[r_0]$임에 따라 $\Phi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi])\subseteq D[r_0]$이다.

모든 $(x,y)\in D[r_0] \subseteq \mathbb{R}^2$에 대해 4번으로 $(x,y) = \Phi|_{\Omega_0}(r,\theta)$인 $(r,\theta)\in \Omega_0\subseteq [0,\infty)\times [0,2\cdot \pi]$가 존재하여 

제한함수의 정의로 $(x,y) = \Phi|_{\Omega_0}(r,\theta) = \Phi(r,\theta) = (r\cdot \cos\theta,r\cdot \sin\theta)$이므로 피타고라스 항등식으로

$r = |r| = \sqrt{r^2} = \sqrt{r^2\cdot ((\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2)} = \sqrt{r^2\cdot (\cos\theta)^2 + r^2\cdot (\sin\theta)^2} = \sqrt{x^2+y^2} \le r_0$임에 따라 

$(r,\theta)\in [0,r_0]\times [0,2\cdot\pi]$이고 $(x,y) = \Phi(r,\theta)\in \Phi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi])$가 되어 $D[r_0]\subseteq \Phi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi])$이고

집합 정리로 $\Phi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi])=D[r_0]$이다.

모든 $(x,y)\in \Phi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi))$에 대해

$(x,y) = \Phi(r,\theta)$인 $(r,\theta)\in (0,r_0)\times (0,2\cdot\pi)$가 존재하여 $\sqrt{x^2+y^2} = r < r_0$이므로 $(x,y)\in D(r_0)$이고 

$(x,y)\in [0,r_0]\times \{ 0\}$라고 가정하면

$r > 0$이므로 $r\cdot \sin\theta = y = 0$임에 따라 $\sin\theta = 0$이 되어 삼각함수 정리로 $\dfrac{\theta}{\pi}\in \mathbb{Z}$인데

$0 < \theta < 2\cdot \pi$이므로 $\theta = \pi$이고 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로

$x = r\cdot \cos\theta = r\cdot \cos \pi = r\cdot ( - \cos 0) = r\cdot (-1) = - r < 0$이 되어 모순임에 따라 $(x,y)\notin [0,r_0]\times \{ 0\}$이고

$(x,y)\in D(r_0)\setminus ([0,r_0]\times \{ 0\})$이므로 $\Phi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi))\subseteq D(r_0) \setminus ([0,r_0]\times\{ 0\})$이다.

모든 $(x,y)\in D(r_0) \setminus ([0,r_0]\times\{ 0\}) \subseteq D[r_0] = \Phi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi])$에 대해 

$(x,y) = \Phi(r,\theta)$인 $(r,\theta)\in [0,r_0]\times [0,2\cdot \pi]$가 존재하여 $r = \sqrt{x^2+y^2} < r_0$이고 

$r = 0$이라고 가정하면

$(x,y) = \Phi(r,\theta) = (r\cdot \cos\theta,r\cdot \sin\theta) = (0,0)\in [0,r_0]\times \{ 0\}$임에 따라 모순이므로 $r \in (0,r_0)$이고 

$\theta\in \{ 0,2\cdot \pi\}$라고 가정하면 

삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $\cos\theta = 1 = \cos0 = \cos(2\cdot \pi)$와 $\sin\theta = 0 = \sin 0 = \sin (2\cdot \pi)$가 성립하여 

$(x,y) = \Phi(r,\theta)= (r\cdot \cos\theta,r\cdot \sin\theta) = (r,0)\in [0,r_0]\times \{ 0\}$임에 따라 모순이므로 $\theta\in (0,2\cdot \pi)$이고 

$(x,y) = \Phi(r,\theta)\in \Phi((0,r_0)\times (0,2\cdot\pi))$가 되어 $D(r_0) \setminus ([0,r_0]\times\{ 0\}) \subseteq \Phi((0,r_0)\times (0,2\cdot \pi))$이고 

집합 정리로 $\Phi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi)) = D(r_0) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\})$이다.

6.

내부 정리와 거리공간 정리와 거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}}([0,\infty)\times [0,2\cdot\pi]) = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([0,\infty))\times\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([0,2\cdot\pi]) =(0,\infty)\times(0,2\cdot\pi)\subseteq\Omega_0$이므로 

4번으로 $\Phi$의 제한함수 $\Phi|_{\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)} }:{\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)}} \to \mathbb{R}^2$은 단사이다.

폐포의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq \mathbb{R}^2$이고 3번으로 모든 $(r,\theta)\in \underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)}$에 대해 $J\Phi(r,\theta) = r > 0$이므로 

거리공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{cl}(\emptyset)} = \emptyset$이고 부피 정리로 $\emptyset$의 부피가 $0$임에 따라

1번과 위 정리로 $\Phi(E), \Phi(\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)})=\Phi({\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)}}\setminus \emptyset)$은 조르당영역이다.

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이고 조르당영역 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)}$는 조르당영역이므로

$f$가 $\Phi(E)$에서 리만적분가능하고 $f_\Phi$가 $E$에서 리만적분가능함에 따라

적분 정리로 $f$는 $\Phi(\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)})$에서 리만적분가능하고 $f_\Phi$는 $\underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{\operatorname{int}(E)}$에서 리만적분가능하여

3번으로 모든 $(r,\theta)\in E\subseteq [0,\infty)\times [0,2\cdot\pi]$에 대해 $J\Phi(r,\theta) = r\ge 0$이므로 위 정리로

$\begin{align*} \int_{\Phi(E)} f(x,y)\operatorname{d}(x,y) & = \int_E f(\Phi(r,\theta))\cdot |J\Phi(r,\theta)|\operatorname{d}(r,\theta) \\[0.5em] & = \int_E f(\Phi(r,\theta))\cdot |r|\operatorname{d}(r,\theta) \\[0.5em] & = \int_E f(r\cdot\cos\theta,r\cdot\sin\theta)\cdot r\operatorname{d}(r,\theta)\text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리11(원기둥 좌표[cylindrical coordinate] 변환)

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $3$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^3,+_3,\cdot_3,(0,0,0))$이고

$(\mathbb{R}^3,+_3,\cdot_3,(0,0,0))$위의 점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^3,\lVert\cdot\rVert_3)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^3,d_3)$이고

실삼각함수가 $\cos,\sin : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$이고 $(\mathbb{R}^3,+_3,\cdot_3,(0,0,0))$의 표준순서기저 $\beta = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$일때

모든 $(r,\theta,z)\in \mathbb{R}^3$가 $\Phi(r,\theta,z) = (r\cdot \cos \theta, r\cdot \sin \theta,z)$인 함수 $\Phi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\Phi$는 $\mathbb{R}^3$에서 연속미분가능하다.

2. $\Phi$는 $\mathbb{R}^3$에서 미분가능하고 임의의 $(r,\theta,z)\in \mathbb{R}^3$에서 $\Phi$의 도함수 $D\Phi(r,\theta,z) : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$에 대해 

$\Phi$의 야코비행렬은 $[D\Phi(r,\theta,z)]_\beta = \begin{bmatrix}\cos \theta & - r\cdot \sin\theta & 0 \\ \sin \theta & r\cdot \cos \theta & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}\in M_{3\times 3}(\mathbb{R})$이다.

3. $\mathbb{R}^3$에서 $\Phi$의 야코비안 $J\Phi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$는 모든 $(r,\theta,z)\in \mathbb{R}^3$에 대해 $J\Phi(r,\theta,z) = r$이다.

4. $\Omega = (0,\infty)\times (0,2\cdot \pi]\times \mathbb{R}$에 대해 $\Omega_0 = \Omega \cup \{ (0,0,z) : z\in \mathbb{R}\}$일때

$\Phi$의 제한함수 $\Phi|_{\Omega_0} : \Omega_0 \to \mathbb{R}^3$은 전단사이다.

5. 임의의 $r_0\in (0,\infty)$과 임의의 $u,v\in \mathbb{R}$에 대해 

$C(r_0,u,v) = \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2 + y^2} < r_0 \text{ 이고 } u < z < v \}$이고

$C[r_0,u,v] = \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2 + y^2} \le r_0 \text{ 이고 } u \le z \le v \}$일때

$\Phi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi) \times (u,v)) = C(r_0, u,v) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\} \times [u,v])$이고

$\Phi([0,r_0] \times [0,2\cdot \pi] \times [u,v]) = C[r_0, u,v]$이다.

6. 임의의 $3$차원 조르당영역 $E\subseteq [0,\infty)\times [0,2\cdot \pi]\times \mathbb{R}$에 대해 $\Phi(E)$는 $3$차원 조르당영역이다.

이때 $\Phi(E)\subseteq S$인 임의의 $S \subseteq \mathbb{R}^3$에 대해 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\Phi(E)$에서 리만적분가능하고

모든 $(r,\theta,z)\in E$에 대해 $f_\Phi(r,\theta,z) = f(\Phi(r,\theta,z))$인 함수 $f_\Phi : E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면

$\displaystyle \int_{\Phi(E)}f(x,y,z) \operatorname{d}(x,y,z) = \int_{E} f(r\cdot \cos\theta,r\cdot\sin\theta,z)\cdot r \operatorname{d}(r,\theta,z)$이다.

증명

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^3,d_3)$는 $3$차원 유클리드 거리공간이고 거리공간 정리로 $\mathbb{R}^3$는 $(\mathbb{R}^3,d_3)$에서 열린집합이다.

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$이고 함수 $\Psi : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$와 함수 $\Psi_1,\Psi_2:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$가

모든 $(r,\theta)\in \mathbb{R}^2$에 대해 $\Psi(r,\theta) = (r\cdot \cos\theta,r\cdot \sin \theta) = (\Psi_1(r,\theta),\Psi_2(r,\theta))$일때

1, 2, 3

위 정리와 연속미분 정리로 $\Psi$와 $\Psi_1,\Psi_2$는 $\mathbb{R}^2$에서 연속미분가능하고

연속미분 정리로 모든 $(r,\theta,z)\in \mathbb{R}^3$에 대해 $p_{3,2}(r,\theta,z) = (r,\theta)$이고 $p_{3,1}(r,\theta,z) = z$인 

함수 $p_{3,2}: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$와 함수 $p_{3,1} : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$은 $\mathbb{R}^3$에서 연속미분가능하여

연속미분 정리로 $\Psi_1\circ p_{3,2} ,\Psi_2\circ p_{3,2} : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}^3$에서 연속미분가능하고

$\Phi(r,\theta,z) = (r\cdot \cos \theta, r\cdot \sin \theta,z) = ((\Psi_1\circ p_{3,2})(r,\theta,z),(\Psi_2\circ p_{3,2})(r,\theta,z),p_{3,1}(r,\theta,z))$이므로 

연속미분 정리로 $\Phi$는 $\mathbb{R}^3$에서 연속미분가능하고 미분 정리로 $\Phi$는 $\mathbb{R}^3$에서 미분가능하다.

연속미분 정리와 미분 정리와 위 정리와 연속미분 정리로 모든 $(r,\theta,z)\in \mathbb{R}^3$에 대해

$\dfrac{\partial (\Psi_1\circ p_{3,2})}{\partial r}(r,\theta,z)= \dfrac{\partial \Psi_1}{\partial r}(p_{3,2}(r,\theta,z)) \cdot \dfrac{\partial }{\partial r}(r) + \dfrac{\partial \Psi_1}{\partial \theta}(p_{3,2}(r,\theta,z))\cdot \dfrac{\partial }{\partial r}(\theta) = \dfrac{\partial \Psi_1}{\partial r}(r,\theta) = \cos \theta \text{ 이고}$ 

$ \dfrac{\partial (\Psi_1\circ p_{3,2})}{\partial \theta}(r,\theta,z)= \dfrac{\partial \Psi_1}{\partial r}(p_{3,2}(r,\theta,z)) \cdot \dfrac{\partial }{\partial \theta}(r) + \dfrac{\partial \Psi_1}{\partial \theta}(p_{3,2}(r,\theta,z))\cdot \dfrac{\partial }{\partial \theta}(\theta) = \dfrac{\partial \Psi_1}{\partial \theta}(r,\theta) = -r\cdot \sin \theta\text{ 이고}$

$\dfrac{\partial (\Psi_1\circ p_{3,2})}{\partial z}(r,\theta,z)= \dfrac{\partial \Psi_1}{\partial r}(p_{3,2}(r,\theta,z)) \cdot \dfrac{\partial }{\partial z}(r) + \dfrac{\partial \Psi_1}{\partial \theta}(p_{3,2}(r,\theta,z))\cdot \dfrac{\partial }{\partial z}(\theta) = 0\text{ 이고}$

$\dfrac{\partial (\Psi_2\circ p_{3,2})}{\partial r}(r,\theta,z)= \dfrac{\partial \Psi_2}{\partial r}(p_{3,2}(r,\theta,z)) \cdot \dfrac{\partial }{\partial r}(r) + \dfrac{\partial \Psi_2}{\partial \theta}(p_{3,2}(r,\theta,z))\cdot \dfrac{\partial }{\partial r}(\theta) = \dfrac{\partial \Psi_2}{\partial r}(r,\theta) = \sin \theta \text{ 이고}$ 

$\dfrac{\partial (\Psi_2\circ p_{3,2})}{\partial \theta}(r,\theta,z)= \dfrac{\partial \Psi_2}{\partial r}(p_{3,2}(r,\theta,z)) \cdot \dfrac{\partial }{\partial \theta}(r) + \dfrac{\partial \Psi_2}{\partial \theta}(p_{3,2}(r,\theta,z))\cdot \dfrac{\partial }{\partial \theta}(\theta) = \dfrac{\partial \Psi_2}{\partial \theta}(r,\theta) = r\cdot \cos \theta\text{ 이고}$

$\dfrac{\partial (\Psi_2\circ p_{3,2})}{\partial z}(r,\theta,z)= \dfrac{\partial \Psi_2}{\partial r}(p_{3,2}(r,\theta,z)) \cdot \dfrac{\partial }{\partial z}(r) + \dfrac{\partial \Psi_2}{\partial \theta}(p_{3,2}(r,\theta,z))\cdot \dfrac{\partial }{\partial z}(\theta) = 0\text{ 이고}$

$\dfrac{\partial p_{3,1}}{\partial r}(r,\theta,z) = 0$이고 $\dfrac{\partial p_{3,1}}{\partial \theta}(r,\theta,z) = 0$이고 $\dfrac{\partial p_{3,1}}{\partial z}(r,\theta,z) = 1$이므로 

편도함수 정리와 미분 정리로 $[D\Phi(r,\theta,z)]_\beta = \begin{bmatrix}\cos \theta & - r\cdot \sin\theta & 0 \\ \sin \theta & r\cdot \cos \theta & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$이고

야코비안의 정의와 행렬식 정리와 위 정리로 $J\Phi(r,\theta,z) = \det([D\Phi(r,\theta,z)]_\beta) = (-1)^{3+3}\cdot J\Psi(r,\theta) = r$이다.

4.

모든 $(r_1,\theta_1,z_1),(r_2,\theta_2,z_2)\in \Omega_0$에 대해 $\Phi|_{\Omega_0}(r_1,\theta_1,z_1) = \Phi|_{\Omega_0}(r_2,\theta_2,z_2)$이면 제한함수의 정의로

$(\Psi(r_1,\theta_1),z_1) = \Phi(r_1,\theta_1,z_1) = \Phi|_{\Omega_0}(r_1,\theta_1,z_1) = \Phi|_{\Omega_0}(r_2,\theta_2,z_2) = \Phi(r_2,\theta_2,z_2) = (\Psi(r_2,\theta),z_2)$이므로 

$3$-순서쌍의 상등으로 $\Psi(r_1,\theta_1) = \Psi(r_2,\theta_2)$이고 $z_1 = z_2$가 되어 

$(r_1,\theta_1),(r_2,\theta_2)\in ((0,\infty)\times (0,2\cdot \pi]) \cup \{(0,0)\}$임에 따라 위 정리와 단사의 정의로 $(r_1,\theta_1) = (r_2,\theta_2)$이고 

$(r_1,\theta_1,z_1) = (r_2,\theta_2,z_2)$이므로 $\Phi|_{\Omega_0}$은 단사이다.

모든 $(x,y,z)\in \mathbb{R}^3$에 대해 $3$-데카르트곱의 정의로 $(x,y)\in \mathbb{R}^2$이므로

위 정리와 전사의 정의로 $\Psi(r,\theta) = (x,y)$인 $(r,\theta)\in ((0,\infty)\times (0,2\cdot \pi]) \cup \{(0,0)\}$가 존재하여 

$(r,\theta,z)\in \Omega_0$이고 $\Phi|_{\Omega_0}(r,\theta,z) = \Phi(r,\theta,z) = (\Psi(r,\theta),z) = (x,y,z)$임에 따라 $\Phi|_{\Omega_0}$은 전사이다.

5.

$D(r_0) = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : \sqrt{x^2 + y^2} < r_0 \}$이고 $D[r_0] = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : \sqrt{x^2 + y^2} \le r_0 \}$일때

위 정리로 $\Psi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi)) = D(r_0) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\})$이고 $\Psi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi]) = D[r_0]$이므로 

모든 $(x,y,z)\in \Phi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi) \times (u,v))$에 대해

$(\Psi(r,\theta),z)=\Phi(r,\theta,z) = (x,y,z) = ((x,y),z)$인 $(r,\theta,z)\in (0,r_0) \times (0,2\cdot \pi) \times (u,v)$가 존재하여 

$(x,y) = \Psi(r,\theta)\in D(r_0) \setminus ([0,r_0]\times \{0\})$이고 $z\in (u,v)$임에 따라 $\Phi(r,\theta,z) = (x,y,z)\in C(r_0,u,v)$이고 

$(x,y,z)\in [0,r_0] \times \{ 0\}\times [u,v]$라고 가정하면

$\Psi(r,\theta)=(x,y)\in [0,r_0]\times \{ 0\}$이 되어 모순이므로 $(x,y,z)\notin [0,r_0] \times \{ 0\}\times [u,v]$이고 

$\Phi(r,\theta,z) = (x,y,z) \in C(r_0, u,v) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\} \times [u,v])$임에 따라

$\Phi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi) \times (u,v)) \subseteq C(r_0, u,v) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\} \times [u,v])$이다.

모든 $(x,y,z)\in C(r_0, u,v) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\} \times [u,v])$에 대해 $(x,y)\in [0,r_0]\times \{ 0\}$라고 가정하면

$u < z < v$이므로 $z\in [u,v]$이고 $(x,y,z)\in [0,r_0] \times \{ 0\} \times [u,v]$임에 따라 모순이 되어 $(x,y)\notin [0,r_0]\times \{ 0\}$이고 

$(x,y)\in D(r_0) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\}) = \Psi((0,r_0)\times (0,2\cdot \pi))$이므로

$\Psi(r,\theta) = (x,y)$인 $(r,\theta)\in (0,r_0) \times (0,2\cdot \pi)$가 존재하여 

$(x,y,z) =(\Psi(r,\theta),z)=\Phi(r,\theta,z) \in \Phi((0,r_0)\times (0,2\cdot \pi)\times (u,v))$이고

$C(r_0, u,v) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\} \times [u,v])\subseteq \Phi((0,r_0)\times (0,2\cdot \pi)\times (u,v))$임에 따라 

집합 정리로 $\Phi((0,r_0) \times (0,2\cdot \pi) \times (u,v)) = C(r_0, u,v) \setminus ([0,r_0] \times \{ 0\} \times [u,v])$이다.

모든 $(r,\theta,z)\in [0,r_0]\times [2\cdot \pi] \times [u,v]$에 대해 $\Phi(r,\theta,z) = (\Psi(r,\theta),z)$이므로 $3$-데카르트곱의 정의로

$\Phi([0,r_0] \times [0,2\cdot \pi] \times [u,v]) = \Psi([0,r_0]\times [0,2\cdot \pi])\times [u,v] = D[r_0]\times [u,v] = C[r_0,u,v]$이다.

6.

내부 정리와 거리공간 정리와 거리공간 정리와 거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$\begin{align*} \underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)} & \subseteq \underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}}([0,\infty)\times [0,2\cdot\pi]\times \mathbb{R}) \\[0.5em] &\qquad = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([0,\infty))\times\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([0,2\cdot\pi]) \times \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}(\mathbb{R})} \\[0.5em] &\qquad =(0,\infty)\times(0,2\cdot\pi) \times \mathbb{R} \\[0.5em] & \subseteq\Omega_0 \text{ 이므로} \end{align*}$ 

4번으로 $\Phi$의 제한함수 $\Phi|_{\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)} }:{\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}} \to \mathbb{R}^3$은 단사이다.

폐포의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq \mathbb{R}^3$이고 3번으로 모든 $(r,\theta,z)\in \underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}$에 대해 $J\Phi(r,\theta,z) = r > 0$이므로 

거리공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{cl}(\emptyset)} = \emptyset$이고 부피 정리로 $\emptyset$의 부피가 $0$임에 따라

1번과 위 정리로 $\Phi(E), \Phi(\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)})=\Phi({\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}}\setminus \emptyset)$은 조르당영역이다.

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이고 조르당영역 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}$는 조르당영역이므로

$f$가 $\Phi(E)$에서 리만적분가능하고 $f_\Phi$가 $E$에서 리만적분가능함에 따라

적분 정리로 $f$는 $\Phi(\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)})$에서 리만적분가능하고 $f_\Phi$는 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}$에서 리만적분가능하여

3번으로 모든 $(r,\theta,z)\in E\subseteq [0,\infty)\times [0,2\cdot\pi]\times \mathbb{R}$에 대해 $J\Phi(r,\theta,z) = r\ge 0$이므로 위 정리로

$\begin{align*} \int_{\Phi(E)} f(x,y,z)\operatorname{d}(x,y,z) & = \int_E f(\Phi(r,\theta,z))\cdot |J\Phi(r,\theta,z)|\operatorname{d}(r,\theta,z) \\[0.5em] & = \int_E f(\Phi(r,\theta,z))\cdot |r|\operatorname{d}(r,\theta,z) \\[0.5em] & = \int_E f(r\cdot\cos\theta,r\cdot\sin\theta,z)\cdot r\operatorname{d}(r,\theta,z)\text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리12(구면 좌표[spherical coordinate] 변환)

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $3$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^3,+_3,\cdot_3,(0,0,0))$이고

$(\mathbb{R}^3,+_3,\cdot_3,(0,0,0))$위의 점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^3,\lVert\cdot\rVert_3)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^3,d_3)$이고

실삼각함수가 $\cos,\sin : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$이고 $(\mathbb{R}^3,+_3,\cdot_3,(0,0,0))$의 표준순서기저 $\beta = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$일때

모든 $(\rho,\varphi,\theta)\in \mathbb{R}^3$가 $\Phi(\rho,\varphi,\theta) = (\rho \cdot \sin \varphi\cdot \cos \theta, \rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin \theta,\rho\cdot \cos\varphi)$인 함수 $\Phi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$에 대해

다음이 성립한다.

1. $\Phi$는 $\mathbb{R}^3$에서 연속미분가능하다.

2. $\Phi$는 $\mathbb{R}^3$에서 미분가능하고 임의의 $(\rho,\varphi,\theta)\in \mathbb{R}^3$에서 $\Phi$의 도함수 $D\Phi(\rho,\varphi,\theta) : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$에 대해 

$\Phi$의 야코비행렬은 $[D\Phi(\rho,\varphi,\theta)]_\beta = \begin{bmatrix}\sin\varphi\cdot \cos \theta &  \rho\cdot \cos\varphi \cdot \cos\theta & -\rho\cdot \sin\varphi \cdot \sin \theta \\ \sin\varphi\cdot \sin \theta & \rho\cdot \cos \varphi \cdot \sin \theta & \rho \cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta \\ \cos\varphi & -\rho \cdot \sin\varphi & 0 \end{bmatrix}\in M_{3\times 3}(\mathbb{R})$이다.

3. $\mathbb{R}^3$에서 $\Phi$의 야코비안 $J\Phi : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$는 모든 $(\rho,\varphi,\theta)\in \mathbb{R}^3$에 대해 $J\Phi(\rho,\varphi,\theta) = \rho^2\cdot \sin \varphi$이다.

4. $\Omega = (0,\infty) \times (0,\pi)\times (0,2\cdot \pi]$에 대해 $\Omega_0 = \Omega \cup \{ (\rho,0,0): \rho\in [0,\infty)\}\cup \{ (\rho,\pi,0): \rho\in (0,\infty)\}$일때

$\Phi$의 제한함수 $\Phi|_{\Omega_0} : \Omega_0 \to \mathbb{R}^3$은 전단사이다.

5. 임의의 $\rho_0\in (0,\infty)$에 대해 

$B(\rho_0) = \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} < \rho_0 \}$이고 $B[\rho_0] = \{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : \sqrt{x^2 + y^2 +z^2} \le \rho_0 \}$일때

$\Phi((0,\rho_0) \times (0,\pi) \times (0,2\cdot \pi)) = B(\rho_0) \setminus ([0,\rho_0] \times \{ 0\} \times [-\rho_0,\rho_0])$이고

$\Phi([0,\rho_0] \times [0,\pi] \times [0,2\cdot \pi]) = B[\rho_0]$이다.

6. 임의의 $3$차원 조르당영역 $E\subseteq [0,\infty) \times [0,\pi] \times [0,2\cdot \pi]$에 대해 $\Phi(E)$는 $3$차원 조르당영역이다.

이때 $\Phi(E)\subseteq S$인 임의의 $S \subseteq \mathbb{R}^3$에 대해 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\Phi(E)$에서 리만적분가능하고

모든 $(\rho,\varphi,\theta)\in E$에 대해 $f_\Phi(\rho,\varphi,\theta) = f(\Phi(\rho,\varphi,\theta))$인 함수 $f_\Phi : E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면

$\displaystyle \int_{\Phi(E)}f(x,y,z) \operatorname{d}(x,y,z) = \int_{E} f(\rho \cdot \sin\varphi \cdot \cos\theta,\rho\cdot \sin\varphi\cdot\sin\theta,\rho \cdot \cos\varphi)\cdot \rho^2\cdot \sin \varphi \operatorname{d}(\rho,\varphi,\theta)$이다.

증명

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^3,d_3)$는 $3$차원 유클리드 거리공간이고 거리공간 정리로 $\mathbb{R}^3$는 $(\mathbb{R}^3,d_3)$에서 열린집합이다.

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$이고 

함수 $\Psi : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$가 모든 $(r,\theta)\in \mathbb{R}^2$에 대해 $\Psi(r,\theta) = (r\cdot \cos\theta,r\cdot \sin \theta)$일때

1, 2, 3

임의의 $(\rho,\varphi,\theta)\in \mathbb{R}^3$에 대해 

$S_1 = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : (\rho,\varphi,\theta) +_3 t\cdot_3 (1,0,0) \in \mathbb{R}^3 \}$이고

$S_2 = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : (\rho,\varphi,\theta) +_3 t\cdot_3 (0,1,0) \in \mathbb{R}^3 \}$이고

$S_3 = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : (\rho,\varphi,\theta) +_3 t\cdot_3 (0,0,1) \in \mathbb{R}^3 \}$일때 모든 $t\in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$에 대해

$(\rho,\varphi,\theta) +_3 t\cdot_3 (1,0,0), (\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(0,1,0), (\rho,\varphi,\theta) +_3t\cdot_3 (0,0,1)\in \mathbb{R}^3$이므로

$\mathbb{R}\setminus \{ 0\} = S_1 = S_2 = S_3$이고 함수 $\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$이

$\Phi(\rho,\varphi,\theta) = (\rho \cdot \sin \varphi\cdot \cos \theta, \rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin \theta,\rho\cdot \cos\varphi) = (\Phi_1(\rho,\varphi,\theta),\Phi_2(\rho,\varphi,\theta),\Phi_3(\rho,\varphi,\theta))$일때 

함수 $g_{1,1},g_{1,2},g_{1,3},g_{2,1},g_{2,2},g_{2,3},g_{3,1},g_{3,2},g_{3,3}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$이 모든 $t\in \mathbb{R}$에 대해 

$g_{1,1}(t) = \Phi_1((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(1,0,0)) = \Phi_1(\rho+t,\varphi,\theta) = (\rho+t)\cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta  = \rho\cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta + t\cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta\text{ 이고}$

$g_{1,2}(t) = \Phi_1((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(0,1,0)) = \Phi_1(\rho,\varphi+t,\theta) = \rho\cdot \sin(\varphi+t)\cdot \cos\theta\text{ 이고}$

$g_{1,3}(t) = \Phi_1((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(0,0,1)) = \Phi_1(\rho,\varphi,\theta+t) = \rho\cdot \sin\varphi\cdot \cos(\theta+t) \text{ 이고}$

$g_{2,1}(t) = \Phi_2((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(1,0,0)) = \Phi_2(\rho+t,\varphi,\theta) = (\rho+t)\cdot \sin\varphi\cdot \sin\theta  = \rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin\theta + t\cdot \sin\varphi\cdot \sin\theta\text{ 이고}$

$g_{2,2}(t) = \Phi_2((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(0,1,0)) = \Phi_2(\rho,\varphi+t,\theta) = \rho\cdot \sin(\varphi+t)\cdot \sin\theta \text{ 이고}$

$g_{2,3}(t) = \Phi_2((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(0,0,1)) = \Phi_2(\rho,\varphi,\theta+t) = \rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin(\theta+t) \text{ 이고}$

$g_{3,1}(t) = \Phi_3((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(1,0,0)) = \Phi_3(\rho+t,\varphi,\theta) = (\rho+t)\cdot \cos \varphi  = \rho\cdot \cos\varphi + t\cdot \cos\varphi\text{ 이고}$

$g_{3,2}(t) = \Phi_3((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(0,1,0)) = \Phi_3(\rho,\varphi+t,\theta) = \rho\cdot \cos(\varphi+t) \text{ 이고}$

$g_{3,3}(t) = \Phi_3((\rho,\varphi,\theta)+_3t\cdot_3(0,0,1)) = \Phi_3(\rho,\varphi,\theta+t) = \rho\cdot \cos\varphi \text{ 이고}$

상수함수 정리와 항등함수 정리와 미분 정리와 연쇄법칙과 삼각함수 정리로

$g_{1,1},g_{1,2},g_{1,3},g_{2,1},g_{2,2},g_{2,3},g_{3,1},g_{3,2},g_{3,3}$은 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여

도함수 $g_{1,1}',g_{1,2}',g_{1,3}',g_{2,1}',g_{2,2}',g_{2,3}',g_{3,1}',g_{3,2}',g_{3,3}':\mathbb{R}\to \mathbb{R}$은

$g_{1,1}'(t) = 0 + (1\cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta + t\cdot 0) = \sin\varphi\cdot \cos\theta$이고

$g_{1,2}'(t) = 0 \cdot \sin(\varphi +t) + \rho\cdot (\sin'(\varphi +t)\cdot (0 +1))\cdot \cos \theta = \rho\cdot \cos(\varphi +t)\cdot \cos \theta$이고

$g_{1,3}'(t) = 0\cdot \cos(\theta +t) + \rho\cdot \sin\varphi \cdot (\cos'(\theta + t)\cdot (0+1)) = -\rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin(\theta+t)$이고

$g_{2,1}'(t) = 0 + (1\cdot \sin\varphi\cdot \sin \theta + t\cdot 0) = \sin\varphi\cdot \sin\theta$이고

$g_{2,2}'(t) = 0 \cdot \sin(\varphi +t) + \rho\cdot (\sin'(\varphi+t)\cdot (0+1))\cdot \sin\theta = \rho\cdot \cos(\varphi+t)\cdot \sin\theta$이고

$g_{2,3}'(t) = 0 \cdot \sin(\theta +t) + \rho\cdot \sin\varphi\cdot (\sin'(\theta+t)\cdot (0+1)) = \rho\cdot \sin\varphi\cdot \cos(\theta+t)$이고

$g_{3,1}'(t) = 0 + (1\cdot \cos\varphi + 0\cdot \cos\varphi) =  \cos\varphi$이고 

$g_{3,2}'(t) = \rho \cdot (\cos'(\varphi +t)\cdot (0+1)) + 0\cdot \cos(\varphi +t) = -\rho\cdot \sin(\varphi+t)$이고 

$g_{3,3}'(t) = 0$이고

편도함수 정리로 $\Phi$의 편도함수 $\dfrac{\partial \Phi}{\partial \rho},\dfrac{\partial \Phi}{\partial \varphi},\dfrac{\partial \Phi}{\partial \theta} : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$가 존재하고

$\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3$의 편도함수 $\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \rho},\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \varphi},\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \theta},\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \rho},\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \varphi},\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \theta} ,\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \rho},\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \varphi},\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \theta} : \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$가 존재하여 

$\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) = g_{1,1}'(0) = \sin\varphi\cdot \cos\theta$이고

$\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) = g_{1,2}'(0) = \rho\cdot \cos(\varphi +0)\cdot \cos \theta = \rho\cdot \cos\varphi \cdot \cos\theta$이고

$\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) = g_{1,3}'(0) = -\rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin(\theta+0) = -\rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin\theta$이고

$\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) = g_{2,1}'(0) = \sin\varphi\cdot \sin\theta$이고

$\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) = g_{2,2}'(0) = \rho\cdot \cos(\varphi+0)\cdot \sin\theta = \rho\cdot \cos\varphi\cdot\sin\theta$이고

$\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) = g_{2,3}'(0) = \rho\cdot \sin\varphi\cdot \cos(\theta+0) = \rho\cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta$이고

$\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) = g_{3,1}'(0) = \cos\varphi$이고 

$\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) = g_{3,2}'(0) = -\rho\cdot \sin(\varphi+0) = -\rho\cdot \sin\varphi$이고 

$\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) = g_{3,3}'(0) = 0$이고

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) = \left ( \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta),\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) ,\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta)\right ) = (\sin\varphi\cdot\cos\theta,\sin\varphi\cdot \sin\theta,\cos\varphi) \text{ 이고}$

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) = \left ( \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta),\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) ,\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta)\right ) = (\rho\cdot \cos\varphi\cdot\cos\theta,\rho\cdot \cos\varphi\cdot \sin\theta,-\rho\cdot\sin\varphi) \text{ 이고}$

$\dfrac{\partial \Phi}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) = \left ( \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta),\dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) ,\dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta)\right ) = (-\rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin\theta,\rho\cdot \sin\varphi\cdot\cos\theta,0) \text{ 이다.}$

거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리로

모든 $(\rho,\varphi,\theta)\in \mathbb{R}^3$에 대해 $p_1(\rho,\varphi,\theta) = \rho$이고 $p_2(\rho,\varphi,\theta) = \varphi$이고 $p_3(\rho,\varphi,\theta)=\theta$인

함수 $p_1,p_2,p_3: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$은 $(\mathbb{R}^3,d_3)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 

삼각함수 정리와 미분 정리로 $\cos,\sin$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로 

연속함수 정리로 $\cos \circ \,p_2,\sin\circ \,p_2,\cos\circ\,p_3,\sin\circ\,p_3$은 $(\mathbb{R}^3,d_3)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수가 되어 

$\begin{align*} & \dfrac{\partial \Phi}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) = (\sin\varphi\cdot\cos\theta,\sin\varphi\cdot \sin\theta,\cos\varphi) \\[0.5em] & = ((\sin\circ\,p_2)(\rho,\varphi,\theta) \cdot (\cos\circ\,p_3)(\rho,\varphi,\theta) , (\sin\circ\,p_2)(\rho,\varphi,\theta) \cdot (\sin\circ\,p_3)(\rho,\varphi,\theta),(\cos\circ\,p_2)(\rho,\varphi,\theta)) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} & \dfrac{\partial \Phi}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) = (\rho\cdot \cos\varphi\cdot\cos\theta,\rho\cdot \cos\varphi\cdot \sin\theta,-\rho\cdot\sin\varphi) \\[0.5em] & = (p_1(\rho,\varphi,\theta)\cdot (\cos\circ\,p_2)(\rho,\varphi,\theta) \cdot (\cos\circ\,p_3)(\rho,\varphi,\theta) , p_1(\rho,\varphi,\theta)\cdot(\cos\circ\,p_2)(\rho,\varphi,\theta) \cdot (\sin\circ\,p_3)(\rho,\varphi,\theta), -p_1(\rho,\varphi,\theta)\cdot (\sin\circ\,p_2)(\rho,\varphi,\theta)) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} & \dfrac{\partial \Phi}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) = (-\rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin\theta,\rho\cdot \sin\varphi\cdot\cos\theta,0) \\[0.5em] & = (-p_1(\rho,\varphi,\theta)\cdot (\sin\circ\,p_2)(\rho,\varphi,\theta) \cdot (\sin\circ\,p_3)(\rho,\varphi,\theta) , p_1(\rho,\varphi,\theta)\cdot(\sin\circ\,p_2)(\rho,\varphi,\theta) \cdot (\cos\circ\,p_3)(\rho,\varphi,\theta), 0) \text{ 임에 따라}\end{align*}$

연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial \Phi}{\partial \rho},\dfrac{\partial \Phi}{\partial \varphi},\dfrac{\partial \Phi}{\partial \theta}$는 $(\mathbb{R}^3,d_3)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로 

$\Phi$는 $\mathbb{R}^3$에서 연속미분가능하고 미분 정리로 $\Phi$는 $\mathbb{R}^3$에서 미분가능하여 미분 정리로 

$ [D\Phi(\rho,\varphi,\theta)]_\beta = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) & \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) & \dfrac{\partial \Phi_1}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) \\ \dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) & \dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) & \dfrac{\partial \Phi_2}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) \\ \dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \rho}(\rho,\varphi,\theta) & \dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \varphi}(\rho,\varphi,\theta) & \dfrac{\partial \Phi_3}{\partial \theta}(\rho,\varphi,\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sin\varphi\cdot \cos \theta & \rho\cdot \cos\varphi \cdot \cos\theta & -\rho\cdot \sin\varphi \cdot \sin \theta \\ \sin\varphi\cdot \sin \theta & \rho\cdot \cos \varphi \cdot \sin \theta & \rho \cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta \\ \cos\varphi & -\rho \cdot \sin\varphi& 0 \end{bmatrix} \text{ 이므로}$

야코비안의 정의와 행렬식 정리와 행렬식 정리로 피타고라스 항등식으로

$\begin{align*} & J\Phi(\rho,\varphi,\theta) = \det([D\Phi(\rho,\varphi,\theta)]_\beta) \\[0.5em] & = (-1)^{3+1}\cdot \cos \varphi\cdot \det(\begin{bmatrix} \rho\cdot \cos\varphi \cdot \cos \theta & -\rho\cdot \sin\varphi \cdot \sin \theta \\ \rho\cdot \cos \varphi \cdot \sin \theta & \rho \cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta \end{bmatrix}) + (-1)^{3+2}\cdot (-\rho\cdot \sin \varphi ) \cdot \det(\begin{bmatrix} \sin\varphi\cdot \cos \theta & -\rho\cdot \sin\varphi \cdot \sin \theta \\ \sin\varphi\cdot \sin \theta & \rho \cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \cos \varphi\cdot (\rho\cdot \cos\varphi \cdot \cos\theta \cdot \rho \cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta + \rho\cdot \sin\varphi \cdot \sin \theta \cdot \rho\cdot \cos \varphi \cdot \sin \theta ) \\[0.5em] & \qquad +\; \rho\cdot \sin \varphi\cdot (\sin\varphi\cdot \cos \theta \cdot \rho \cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta + \rho\cdot \sin\varphi \cdot \sin \theta \cdot \sin\varphi\cdot \sin \theta) \\[0.5em] & = \rho^2\cdot (\cos\varphi)^2 \cdot (\cos\theta)^2 \cdot \sin\varphi + \rho^2 \cdot \sin\varphi \cdot (\sin \theta)^2 \cdot (\cos \varphi)^2 + \rho^2 \cdot (\sin \varphi)^3\cdot (\cos \theta)^2 + \rho^2 \cdot (\sin \varphi)^3 \cdot (\sin \theta)^2  \\[0.5em] & = \rho^2\cdot\sin\varphi \cdot ((\cos\varphi)^2 \cdot (\cos\theta)^2 + (\sin \theta)^2 \cdot (\cos \varphi)^2 + (\sin \varphi)^2\cdot (\cos \theta)^2 + (\sin \varphi)^2 \cdot (\sin \theta)^2) \\[0.5em] & = \rho^2\cdot\sin\varphi \cdot ((\cos\varphi)^2 \cdot ((\cos\theta)^2 + (\sin \theta)^2) + (\sin \varphi)^2\cdot ((\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2)) \\[0.5em] & = \rho^2\cdot\sin\varphi \cdot ((\cos\varphi)^2 + (\sin \varphi)^2) \\[0.5em] & = \rho^2\cdot\sin\varphi \text{ 이다.} \end{align*}$

4.

임의의 $(\rho_1,\varphi_1,\theta_1),(\rho_2,\varphi_2,\theta_2)\in \Omega_0 = \Omega\cup \{ (0,0,0)\}$에 대해 $\Phi|_{\Omega_0}(\rho_1,\varphi_1,\theta_1) = \Phi|_{\Omega_0}(\rho_2,\varphi_2,\theta_2)$이면

제한함수의 정의로

$(\rho_1\cdot \sin\varphi_1\cdot \cos\theta_1,\rho_1\cdot \sin\varphi_1\cdot \sin\theta_1,\rho_1\cdot \cos\varphi_1) = (\rho_2\cdot \sin\varphi_2\cdot \cos\theta_2, \rho_2\cdot\sin\varphi_2\cdot \sin \theta_2,\rho_2\cdot \cos\varphi_2)$이므로 

$3$-순서쌍의 상등과 피타고라스 항등식으로

$\begin{align*} \rho_1^2 &= \rho_1^2\cdot ((\cos\varphi_1)^2 + (\sin\varphi_1)^2 ) \\[0.5em]& = (\rho_1 \cdot \cos\varphi_1)^2 + (\rho_1\cdot \sin\varphi_1)^2 \\[0.5em]& = (\rho_1 \cdot \cos\varphi_1)^2 + (\rho_1\cdot \sin\varphi_1)^2 \cdot ((\cos\theta_1)^2 + (\sin\theta_1)^2 ) \\[0.5em]& = (\rho_1 \cdot \cos\varphi_1)^2 + (\rho_1\cdot \sin\varphi_1\cdot \cos\theta_1)^2 +(\rho_1\cdot \sin\varphi_1\cdot \sin\theta_1)^2 \\[0.5em]& = (\rho_2 \cdot \cos\varphi_2)^2 + (\rho_2\cdot \sin\varphi_2\cdot \cos\theta_2)^2 + (\rho_2\cdot \sin\varphi_2\cdot \sin\theta_2)^2 \\[0.5em]& = (\rho_2 \cdot \cos\varphi_2)^2 + (\rho_2\cdot \sin\varphi_2)^2 \cdot ((\cos\theta_2)^2 + (\sin\theta_2)^2 ) \\[0.5em]& = (\rho_2 \cdot \cos\varphi_2)^2 + (\rho_2\cdot \sin\varphi_2)^2 \\[0.5em] &= \rho_2^2\cdot ((\cos\varphi_2)^2 + (\sin\varphi_2)^2 ) \\[0.5em] & = \rho_2^2 \text{ 가 되어} \end{align*}$

$\rho_1\ge 0$과 $\rho_2\ge 0$가 성립함에 따라 절댓값 정리로 $\rho_1=|\rho_1| = \sqrt{\rho_1^2} = \sqrt{\rho_2^2} = |\rho_2| = \rho_2$이다.

$\rho_1 = \rho_2 = 0$일때

$(\rho_1,\varphi_1,\theta_1),(\rho_2,\varphi_2,\theta_2) \in \{ (\rho,0,0): \rho\in [0,\infty)\}$가 되어 $(\rho_1,\varphi_1,\theta_1) = (0,0,0)=(\rho_2,\varphi_2,\theta_2)$이다.

$\rho_1 = \rho_2 > 0$일때

$(\rho_1,\varphi_1,\theta_1),(\rho_2,\varphi_2,\theta_2) \in ((0,\infty)\times (0,\pi)\times (0,2\cdot \pi] )\cup \{ (\rho,0,0): \rho\in (0,\infty)\}\cup \{ (\rho,\pi,0): \rho\in (0,\infty)\} \text{ 이고}$

$\cos \varphi_1 = \cos \varphi_2$가 되어 $\varphi_1,\varphi_2\in [0,\pi]$임에 따라 삼각함수 정리로 $\varphi_1 = \varphi_2$이고 

$\sin \varphi_1 = \sin \varphi_2 = 0$이면

삼각함수 정리로 $\varphi_1=\varphi_2\in \{ 0,\pi\}$이므로 $\theta_1 = 0 = \theta_2$가 되어 $(\rho_1,\varphi_1,\theta_1) =(\rho_2,\varphi_2,\theta_2)$이고 

$\sin \varphi_1 = \sin \varphi_2\ne 0$이면 삼각함수 정리로 $\varphi_1=\varphi_2\notin \{ 0,\pi\}$이므로 $\theta_1,\theta_2\in (0,2\cdot \pi]$가 되어 

$\Psi(1,\theta_1)=(\cos \theta_1,\sin\theta_1) = (\cos\theta_2,\sin\theta_2) = \Psi(1,\theta_2)$임에 따라 위 정리로 $\theta_1 = \theta_2$이고

$(\rho_1,\varphi_1,\theta_1)  = (\rho_2,\varphi_2,\theta_2)$이므로 $\Phi|_{\Omega_0}$은 단사이다. 

임의의 $(x,y,z)\in \mathbb{R}^3$에 대해 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ge 0$이므로 $\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $일때

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 0$이면

$x = y = z = 0$이 되어 $\Phi|_{\Omega_0}(0,0,0) = (0 \cdot \sin 0\cdot \cos 0,0\cdot\sin0\cdot \sin 0,0\cdot\cos0) = (0,0,0) = (x,y,z)$이고 

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} > 0$이면 $|z| = \sqrt{z^2} \le \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \rho$이므로

$-1 \le \dfrac{z}{\rho} \le 1$임에 따라 삼각함수 정리로 $\cos \varphi = \dfrac{z}{\rho}$인 $\varphi \in [0,\pi]$가 존재하여

$\varphi \in \{ 0,\pi\}$일때

삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $\sin \varphi = 0$이고 $1 = |\cos \varphi| = \dfrac{|z|}{\rho}$이므로 $\rho = |z|$임에 따라 $x= 0 =y$이고

$\Phi|_{\Omega_0}(\rho,\varphi,0) = (\rho \cdot \sin \varphi\cdot \cos 0,\rho\cdot\sin\varphi\cdot \sin 0,\rho\cdot\cos \varphi) = (0,0,\rho\cdot \frac{z}{\rho}) = (x,y,z)$이다.

$\varphi\in (0,\pi)$일때

삼각함수 정리로 $\sin \varphi \ne 0$이고 삼각함수 정리로 $-1 < \cos \varphi < 1$이므로 $|z| < \rho$가 되어 $x\ne 0$ 또는 $y\ne 0$이고 

위 정리로 $(r\cdot \cos\theta,r\cdot \sin\theta)=\Psi(r,\theta)=(\frac{x}{\rho\cdot \sin \varphi},\frac{y}{\rho\cdot \sin\varphi})$인 $(r,\theta)\in ((0,\infty)\times (0,2\cdot \pi]) \cup \{ (0,0)\}$가 존재하여 

$x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$이고 피타고라스 항등식으로 $(\cos \theta)^2 + (\sin\theta)^2 = 1 = (\cos \varphi)^2 + (\sin\varphi)^2$임에 따라 

$r^2 = \dfrac{x^2 + y^2}{\rho^2 \cdot (\sin \varphi)^2} = \dfrac{x^2 + y^2}{\rho^2 \cdot (1- (\cos \varphi)^2)} = \dfrac{x^2+y^2}{\rho^2 - (\rho\cdot \cos \varphi)^2} = \dfrac{x^2 + y^2}{\rho^2 - (\rho\cdot \frac{z}{\rho})^2} = \dfrac{x^2+y^2}{\rho^2 - z^2} = \dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^2} = 1 \text{ 이므로}$

$r = 1$이 되어 $\theta\in (0,2\cdot \pi]$이고 $\cos \theta = \dfrac{x}{\rho\cdot \sin \varphi}$와 $\sin \theta = \dfrac{y}{\rho\cdot \sin \varphi}$가 성립하므로

$\Phi|_{\Omega_0}(\rho,\varphi,\theta) = (\rho \cdot \sin \varphi\cdot \cos \theta,\rho\cdot\sin\varphi\cdot \sin\theta,\rho\cdot\cos \varphi)  = (x,y,z)$가 되어 $\Phi|_{\Omega_0}$은 전사이다.

5.

모든 $(x,y,z)\in \Phi([0,\rho_0]\times [0,\pi] \times [0,2\cdot \pi])$에 대해

$(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta)$인 $(\rho,\varphi,\theta)\in [0,\rho_0]\times [0,\pi]\times [0,2\cdot\pi]$가 존재하여 

$(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta) = (\rho \cdot \sin \varphi\cdot \cos \theta, \rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin \theta,\rho\cdot \cos\varphi)$이고 피타고라스 항등식으로

$\begin{align*} \sqrt{x^2+y^2 +z^2} &= \sqrt{\rho^2 \cdot (\sin \varphi)^2\cdot (\cos \theta)^2 + \rho^2\cdot (\sin\varphi)^2\cdot (\sin \theta)^2+\rho^2\cdot (\cos\varphi)^2} \\[0.5em] & = \sqrt{\rho^2 \cdot ((\sin \varphi)^2\cdot (\cos \theta)^2 + (\sin\varphi)^2 \cdot (\sin \theta)^2+(\cos\varphi)^2 )} \\[0.5em] & = \sqrt{\rho^2 \cdot ((\sin \varphi)^2\cdot ((\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2) +(\cos\varphi)^2 )} \\[0.5em] & = \sqrt{\rho^2 \cdot ((\sin \varphi)^2 +(\cos\varphi)^2 )} \\[0.5em] & = \sqrt{\rho^2} \\[0.5em] & = |\rho| \\[0.5em] & = \rho \\[0.5em] & \le \rho_0 \text{ 이므로} \end{align*}$

$(x,y,z)\in B[\rho_0]$임에 따라 $\Phi([0,\rho_0] \times [0,\pi]\times [0,2\cdot \pi])\subseteq B[\rho_0]$이다.

모든 $(x,y,z)\in B[\rho_0] \subseteq \mathbb{R}^3$에 대해

4번으로 $(x,y,z) = \Phi|_{\Omega_0}(\rho,\varphi,\theta)$인 $(\rho,\varphi,\theta)\in \Omega_0\subseteq [0,\infty) \times [0,\pi] \times [0,2\cdot \pi]$가 존재하여 

제한함수의 정의로 $(x,y,z) = \Phi|_{\Omega_0}(\rho,\varphi,\theta) = \Phi(\rho,\varphi,\theta) = (\rho \cdot \sin \varphi\cdot \cos \theta, \rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin \theta,\rho\cdot \cos\varphi)$이므로 

피타고라스 항등식으로 $\rho= \sqrt{x^2+y^2 +z^2} \le \rho_0$임에 따라 $(\rho,\varphi,\theta)\in [0,\rho_0]\times [0,\pi] \times [0,2\cdot\pi]$이고

$(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta)\in \Phi([0,\rho_0]\times [0,\pi]\times [0,2\cdot \pi])$가 되어 $B[\rho_0]\subseteq \Phi([0,\rho_0]\times [0,\pi]\times [0,2\cdot \pi])$이고

집합 정리로 $\Phi([0,\rho_0]\times [0,\pi]\times [0,2\cdot \pi]) = B[\rho_0]$이다.

모든 $(x,y,z)\in \Phi((0,\rho_0)\times (0,\pi) \times (0,2\cdot \pi))$에 대해

$(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta)$인 $(\rho,\varphi,\theta)\in (0,\rho_0)\times (0,\pi)\times (0,2\cdot\pi)$가 존재하여

$\sqrt{x^2+y^2+z^2} = \rho < \rho_0$이므로 $(x,y,z)\in B(\rho_0)$이고 

$(x,y,z)\in [0,\rho_0]\times \{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0]$이라고 가정하면

$\rho > 0$이므로 $\rho\cdot \sin\varphi \cdot \sin\theta = y = 0$임에 따라 $\sin\varphi \cdot \sin\theta = 0$이고

$\varphi\in (0,\pi)$이므로 삼각함수 정리로 $\sin \varphi > 0$이 되어 $\sin\theta = 0$이고 삼각함수 정리로 $\dfrac{\theta}{\pi}\in \mathbb{Z}$인데

$0 < \theta < 2\cdot \pi$이므로 $\theta = \pi$이고 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로

$x = \rho\cdot \sin\varphi \cdot \cos\theta = \rho \cdot \sin\varphi\cdot \cos \pi = \rho\cdot \sin\varphi \cdot ( - \cos 0) = - \rho\cdot \sin\varphi < 0$이 되어 모순임에 따라

$(x,y,z)\notin [0,\rho_0]\times \{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0]$이고 $(x,y,z)\in B(\rho_0)\setminus ([0,\rho_0]\times \{ 0\} \times [-\rho_0,\rho_0])$이므로

$\Phi((0,\rho_0)\times (0,\pi) \times (0,2\cdot \pi))\subseteq B(\rho_0) \setminus ([0,\rho_0]\times\{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0])$이다.

모든 $(x,y,z)\in B(\rho_0) \setminus ([0,\rho_0]\times\{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0]) \subseteq B[\rho_0] = \Phi([0,\rho_0]\times [0,\pi]\times [0,2\cdot \pi])$에 대해 

$(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta)$인 $(\rho,\varphi,\theta)\in [0,\rho_0]\times [0,\pi] \times [0,2\cdot \pi]$가 존재하여 $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} < \rho_0$이고 

$\rho = 0$이라고 가정하면

$(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta) = (\rho\cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta,\rho\cdot\sin\varphi\cdot \sin\theta,\rho\cdot \cos\varphi) = (0,0,0)\in [0,\rho_0]\times \{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0] \text{ 임에 따라}$

모순이므로 $\rho \in (0,\rho_0)$이고 

$\varphi\in \{ 0,\pi\}$라고 가정하면 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $\sin\varphi = 0$이고 $-1\le \cos \varphi \le 1$이므로 

$(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta) = (\rho\cdot \sin\varphi\cdot \cos\theta,\rho\cdot\sin\varphi\cdot \sin\theta,\rho\cdot \cos\varphi) = (0,0,\rho\cdot \cos\varphi)\in [0,\rho_0]\times \{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0] \text{ 임에 따라}$

모순이 되어 $\varphi\in (0,\pi)$이고 

$\theta\in \{ 0,2\cdot \pi\}$라고 가정하면 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $0 < \sin\varphi \le 1$이고

삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $\cos\theta = 1 = \cos0 = \cos(2\cdot \pi)$와 $\sin\theta = 0 = \sin 0 = \sin (2\cdot \pi)$가 성립하여 

$(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta)= (\rho\cdot\sin\varphi\cdot \cos\theta,\rho\cdot \sin\varphi\cdot \sin\theta , \rho\cdot\cos\varphi) = (\rho\cdot\sin\varphi ,0,\rho\cdot \cos\varphi)\in [0,\rho_0]\times \{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0]\text{ 임에 따라}$

모순이므로 $\theta\in (0,2\cdot \pi)$이고 $(x,y,z) = \Phi(\rho,\varphi,\theta)\in \Phi((0,\rho_0)\times (0,\pi)\times (0,2\cdot\pi))$가 되어

$B(\rho_0) \setminus ([0,\rho_0]\times\{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0]) \subseteq \Phi((0,\rho_0)\times (0,\pi)\times (0,2\cdot \pi))$이므로

집합 정리로 $\Phi((0,\rho_0)\times(0,\pi) \times (0,2\cdot \pi)) = B(\rho_0) \setminus ([0,\rho_0] \times \{ 0\}\times [-\rho_0,\rho_0])$이다.

6.

내부 정리와 거리공간 정리와 거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$\begin{align*} \underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)} & \subseteq \underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}}([0,\infty)\times [0,\pi]\times [0,2\cdot \pi]) \\[0.5em] &\qquad = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([0,\infty))\times\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([0,\pi]) \times \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([0,2\cdot \pi]) \\[0.5em] &\qquad =(0,\infty)\times (0,\pi) \times (0,2\cdot\pi) \\[0.5em] & \subseteq\Omega_0 \text{ 이므로} \end{align*}$ 

4번으로 $\Phi$의 제한함수 $\Phi|_{\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)} }:{\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}} \to \mathbb{R}^3$은 단사이다.

폐포의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq \mathbb{R}^3$이고

3번과 삼각함수 정리로 모든 $(\rho,\varphi,\theta)\in \underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}$에 대해 $J\Phi(\rho,\varphi,\theta) = \rho^2 \cdot \sin\varphi > 0$이므로 

거리공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{cl}(\emptyset)} = \emptyset$이고 부피 정리로 $\emptyset$의 부피가 $0$임에 따라

1번과 위 정리로 $\Phi(E), \Phi(\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)})=\Phi({\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}}\setminus \emptyset)$은 조르당영역이다.

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이고 조르당영역 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}$는 조르당영역이므로

$f$가 $\Phi(E)$에서 리만적분가능하고 $f_\Phi$가 $E$에서 리만적분가능함에 따라

적분 정리로 $f$는 $\Phi(\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)})$에서 리만적분가능하고 $f_\Phi$는 $\underset{(\mathbb{R}^3,d_3)}{\operatorname{int}(E)}$에서 리만적분가능하여 3번과 삼각함수 정리로

모든 $(\rho,\varphi,\theta)\in E\subseteq [0,\infty)\times [0,\pi]\times [0,2\cdot\pi]$에 대해 $J\Phi(\rho,\varphi,\theta) = \rho^2\cdot \sin\varphi \ge 0$이므로 위 정리로

$\begin{align*} \int_{\Phi(E)} f(x,y,z)\operatorname{d}(x,y,z) & = \int_E f(\Phi(\rho,\varphi,\theta))\cdot |J\Phi(\rho,\varphi,\theta)|\operatorname{d}(\rho,\varphi,\theta) \\[0.5em] & = \int_E f(\Phi(\rho,\varphi,\theta))\cdot |\rho^2\cdot \sin\varphi|\operatorname{d}(\rho,\varphi,\theta) \\[0.5em] & = \int_E f(\rho\cdot \sin\varphi\cdot\cos\theta,\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta,\rho\cdot \cos \varphi)\cdot \rho^2\cdot \sin\varphi \operatorname{d}(\rho,\varphi,\theta)\text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/141#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/141#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380