감마함수(Gamma function)와 베타함수(Beta function)

수학/실해석학 2026. 4. 2. 22:07

정의1

오일러수가 $e\in \mathbb{R}$이고 임의의 $x,t\in (0,\infty)$에 대해 함수 $f_x: (0,\infty)\to \mathbb{R}$가 $f_x(t) = t^{x-1}\cdot e^{-t}$일때

무한닫힌구간 $[0,\infty]$에서 $f_x$의 영확장함수 $\widehat{f_x} : [0,\infty]\to \mathbb{R}$의 일반리만적분에 대해

$\Gamma(x) = \displaystyle \int_0^\infty \widehat{f_x}(t)\operatorname{d}\!t$인 함수 $\Gamma : (0,\infty)\to \mathbb{R}$를 감마함수로 정의한다.

정리1

실지수함수 $\exp : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$와 자연로그함수 $\ln :(0,\infty)\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\alpha \ne -1$인 임의의 $\alpha\in \mathbb{R}$에 대해 함수 $f_\alpha : (0,\infty)\to \mathbb{R}$가 모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 $f_\alpha(t) = t^\alpha$일때

$a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 $f_\alpha$의 축소함수 $f_\alpha|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b t^\alpha \operatorname{d}\!t = \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1 }$이다.

2. 함수 $f : (0,\infty)\to \mathbb{R}$가 모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 $f(t) = \dfrac{1}{t} = t^{-1}$일때

$a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 $f$의 축소함수 $f|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_a^b f(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b \dfrac{1}{t} \operatorname{d}\!t = \ln(b) - \ln(a)$이다.

3. $a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 $\ln$의 축소함수 $\ln|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_a^b \ln(t)\operatorname{d}\!t = (b\cdot \ln(b) - b) - (a\cdot \ln(a)-a)$이다.

4. $a\le b$인 모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $\exp$의 축소함수 $\exp|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_a^b \exp(x)\operatorname{d}\!x = \exp(b)-\exp(a)$이다.

5. $\alpha\ne 1$인 임의의 $\alpha\in (0,\infty)$에 대해 함수 $g_\alpha :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $g_\alpha(x) = \alpha^x$일때

$a\le b$인 모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $g_\alpha$의 축소함수 $g_\alpha|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_a^b g_\alpha(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^b \alpha^x\operatorname{d}\!x = \dfrac{\alpha^b - \alpha^a}{\ln(\alpha)}$이다.

증명

거듭제곱 정리로 $f_\alpha$는 $(0,\infty)$에서 미분가능하여

미분 연속성으로 $f_\alpha$는 $(0,\infty)$에서 연속이므로 연속함수 정리와 적분 정리로 $f_\alpha|_{[a,b]}\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a = b$이면 적분의 정의로 $\displaystyle \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = 0 = \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$이고

$a < b$이면 거듭제곱 정리와 미분 정리로 모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 $F_\alpha(t) = \dfrac{1}{\alpha +1}\cdot t^{\alpha +1}$인

함수 $F_\alpha : (0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(0,\infty)$에서 미분가능하여 $F_\alpha'(t) = \dfrac{1}{\alpha+ 1}\cdot (\alpha +1)\cdot t^\alpha = t^\alpha = f_\alpha(t)$이고

미분 연속성으로 $F_\alpha$는 $(0,\infty)$에서 연속이므로 연속함수 정리와 미분 정리와 기본정리 1형식으로

$\displaystyle \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = F_\alpha|_{[a,b]}(b) - F_\alpha|_{[a,b]}(a) = F_\alpha(b) - F_\alpha(a) = \dfrac{1}{\alpha+1}\cdot b^{\alpha + 1} - \dfrac{1}{\alpha + 1}\cdot a^{\alpha +1} = \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1 }$이다.

거듭제곱 정리로 $f$는 $(0,\infty)$에서 미분가능하여

미분 연속성으로 $f$는 $(0,\infty)$에서 연속이므로 연속함수 정리와 적분 정리로 $f|_{[a,b]}\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a = b$이면 적분의 정의로 $\displaystyle \int_a^b f(t)\operatorname{d}\!t = 0 = \ln(b) - \ln(a)$이고

$a < b$이면 자연로그 정리로 $\ln$은 $(0,\infty)$에서 미분가능하여 모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 $\ln'(t) = \dfrac{1}{t} = f(t)$이므로

미분 연속성으로 $\ln$이 $(0,\infty)$에서 연속임에 따라 연속함수 정리와 미분 정리와 기본정리 1형식으로

$\displaystyle \int_a^b f(t)\operatorname{d}\!t = \ln|_{[a,b]}(b) - \ln|_{[a,b]}(a) = \ln(b)- \ln(a)$이다.

자연로그 정리와 거듭제곱 정리로 $\ln,f_1$은 $(0,\infty)$에서 미분가능하여

모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 $\ln'(t) = \dfrac{1}{t} = t^{-1}$이고 $f_1'(t) = 1\cdot t^{1-1} = t^0 = 1$이므로

거듭제곱 정리와 상수함수 정리와 미분 연속성으로

$\ln,\ln', f_1'$이 $(0,\infty)$에서 연속임에 따라 연속함수 정리와 적분 정리로 $\ln|_{[a,b]},\ln'|_{[a,b]} , f_1'|_{[a,b]}\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a = b$이면 적분의 정의로 $\displaystyle \int_a^b \ln(t)\operatorname{d}\!t = 0 = (b\cdot \ln(b) - b) - (a\cdot \ln(a)-a)$이고

$a < b$이면 미분 정리와 부분 적분법과 상수함수 정리로

$\begin{align*} \int_a^b \ln(t)\operatorname{d}\!t & = \int_a^b \ln(t)\cdot 1\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_a^b \ln(t)\cdot f_1'(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \ln(b)\cdot f_1(b) - \ln(a)\cdot f_1(a) - \int_a^b \ln'(t)\cdot f_1(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \ln(b)\cdot b - \ln(a)\cdot a - \int_a^b \dfrac{1}{t}\cdot t \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \ln(b)\cdot b - \ln(a)\cdot a - \int_a^b 1 \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \ln(b)\cdot b - \ln(a)\cdot a - (b-a) \\[0.5em]& = (b\cdot \ln(b) - b) - (a\cdot \ln(a)-a)\text{ 이다.} \end{align*}$

지수함수 정리로 $\exp$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $\exp'(x) = \exp(x)$이고

미분 연속성으로 $\exp$는 $\mathbb{R}$에서 연속이므로 연속함수 정리와 적분 정리로 $\exp|_{[a,b]}\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a = b$이면 적분의 정의로 $\displaystyle \int_a^b \exp(x)\operatorname{d}\!x = 0 = \exp(b)-\exp(a)$이고

$a < b$이면 도함수 정리로 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $\exp(x) = \exp'(x) = \exp|_{[a,b]}'(x)$이므로

기본정리 1형식으로 $\displaystyle \int_a^b \exp(x)\operatorname{d}\!x = \exp|_{[a,b]}(b)- \exp|_{[a,b]}(a) = \exp(b)-\exp(a)$이다.

$\alpha \ne 1$이므로 자연로그의 정의와 자연로그 정리로 $\ln(\alpha)\ne 0$이고

거듭제곱 정리와 미분 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $G_\alpha(x) = \dfrac{1}{\ln(\alpha)}\cdot \alpha^x$인 함수 $G_\alpha : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여

$G_\alpha'(x) = \dfrac{1}{\ln(\alpha)}\cdot \ln(\alpha)\cdot \alpha^x = \alpha^x = g_\alpha(x)$이므로

미분 연속성으로 $g_\alpha,G_\alpha,G_\alpha'$은 $\mathbb{R}$에서 연속이고 연속함수 정리와 적분 정리로 $g_\alpha|_{[a,b]}\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a = b$이면 적분의 정의로 $\displaystyle \int_a^b g_\alpha(x)\operatorname{d}\!x = 0 = \dfrac{\alpha^b - \alpha^a}{\ln(\alpha)}$이고

$a < b$이면 연속함수 정리와 미분 정리와 기본정리 1형식으로

$\displaystyle \int_a^b g_\alpha(x)\operatorname{d}\!x = G_\alpha|_{[a,b]}(b) - G_\alpha|_{[a,b]}(a) = G_\alpha(b) - G_\alpha(a) = \dfrac{1}{\ln(\alpha)}\cdot \alpha^b - \dfrac{1}{\ln(\alpha)}\cdot \alpha^a = \dfrac{\alpha^b - \alpha^a}{\ln(\alpha)}$이다.

정리2

오일러수 $e\in \mathbb{R}$와 임의의 $\alpha\in (0,\infty)$에 대해

함수 $f_\alpha : [0,\infty)\to \mathbb{R}$가 모든 $t\in [0,\infty)$에 대해 $f_\alpha(t) = e^{-\alpha\cdot t}$일때 다음이 성립한다.

1. $a\le b$인 모든 $a,b\in [0,\infty)$에 대해 $f_\alpha$의 축소함수 $f_\alpha|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b e^{-\alpha\cdot t} \operatorname{d}\!t = -\dfrac{e^{-\alpha \cdot b} - e^{-\alpha\cdot a}}{\alpha}$이다.

2. $\displaystyle \lim_{t\to \infty}$ $e^{-\alpha\cdot t} = 0$

3. 무한닫힌구간 $[0,\infty]$에서 $f_\alpha$의 영확장함수 $\widehat{f_\alpha} : [0,\infty]\to \mathbb{R}$는 $[0,\infty]$에서 일반리만적분가능하고

$\displaystyle \int_0^\infty \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{x \to \infty} \int_0^x e^{-\alpha\cdot t}\operatorname{d}\!t = \dfrac{1}{\alpha}$이다.

증명

실지수함수가 $\exp : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$일때 지수함수 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $\exp(x) = e^x$이다.

미분 정리와 미분 정리로 모든 $t\in [0,\infty)$에 대해 $g(t) = -\alpha\cdot t$인

함수 $g: [0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $[0,\infty)$에서 미분가능하여 $g'(t) = - \alpha\cdot 1 = -\alpha < 0$이므로

연속함수 정리로 $g'$은 $[0,\infty)$에서 연속이고 미분 정리로 $g$는 $[0,\infty)$에서 순감소한다.

모든 $t\in [0,\infty)$에 대해 $f_\alpha(t) = e^{-\alpha\cdot t} = \exp(-\alpha\cdot t) = \exp( g(t)) = (\exp\circ \,g)(t)$이므로

지수함수 정리와 연쇄법칙으로 $f_\alpha = \exp\circ \,g$는 $[0,\infty)$에서 미분가능하여

$f_\alpha'(t) = (\exp\circ \,g)'(t) = \exp'(g(t))\cdot g'(t) = \exp(g(t)) \cdot (-\alpha) = -\alpha\cdot e^{-\alpha\cdot t}$이고

미분 연속성으로 $f_\alpha = \exp\circ \,g$는 $[0,\infty)$에서 연속이므로

연속함수 정리와 적분 정리로 $a\le b$인 모든 $a,b\in [0,\infty)$에 대해 $f_\alpha|_{[a,b]}\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a = b$이면 적분의 정의로 $\displaystyle \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b e^{-\alpha\cdot t}\operatorname{d}\!t = 0 = -\dfrac{e^{-\alpha \cdot b} - e^{-\alpha\cdot a}}{\alpha}$이고

$a < b$이면 적분 정리와 연속함수 정리와 미분 정리와 치환 정리와 적분의 정의와 위 정리로

$\begin{align*} -\alpha\cdot \int_a^b e^{-\alpha\cdot t}\operatorname{d}\!t & =\int_a^b e^{ -\alpha\cdot t}\cdot (-\alpha)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_a^b \exp(g(t))\cdot g'(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_{g(a)}^{g(b)}\exp(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = -\int_{-\alpha\cdot b}^{-\alpha\cdot a} \exp(t) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = -(\exp(-\alpha\cdot a) - \exp(-\alpha\cdot b)) \\[0.5em] & = e^{-\alpha\cdot b} - e^{-\alpha\cdot a} \text{ 이므로} \end{align*}$

$\displaystyle \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b e^{-\alpha\cdot t} \operatorname{d}\!t = -\dfrac{e^{-\alpha \cdot b} - e^{-\alpha\cdot a}}{\alpha}$이다.

지수함수 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to -\infty} e^t = 0$이므로 극한의 정의로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해

$t < K(\epsilon)$인 모든 $t\in \mathbb{R}$가 $|e^t - 0 | < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in (-\infty,0)$이 존재하여 $-\dfrac{K(\epsilon)}{\alpha} > 0$이고

$t > - \dfrac{K(\epsilon)}{\alpha}$인 모든 $t\in \mathbb{R}$가 $\alpha\cdot t > - K(\epsilon)$임에 따라 $-\alpha\cdot t < K(\epsilon)$이므로 $|e^{-\alpha\cdot t} - 0 | < \epsilon$이 되어

극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}e^{-\alpha\cdot t} = 0$이다.

미분 정리로 모든 $t\in [0,\infty)$에 대해 $F_\alpha(t) = -\dfrac{1}{\alpha}\cdot e^{-\alpha\cdot t} = -\dfrac{1}{\alpha}\cdot f_\alpha(t)$인

함수 $F_\alpha : [0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $[0,\infty)$에서 미분가능하여 $F_\alpha'(t) = - \dfrac{1}{\alpha}\cdot f_\alpha'(t) = -\dfrac{1}{\alpha}\cdot (-\alpha\cdot e^{-\alpha\cdot t}) = f_\alpha(t)$이다.

미분 연속성으로 $F_\alpha$는 $[0,\infty)$에서 연속이고

2번과 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}F_\alpha(x) = \lim_{x\to \infty} \left ( -\dfrac{1}{\alpha}\cdot e^{-\alpha\cdot x} \right ) = -\dfrac{1}{\alpha}\cdot \lim_{x\to \infty} e^{-\alpha\cdot x} = -\dfrac{1}{\alpha}\cdot 0 = 0$이므로

일관성 정리와 이상적분 정리와 헤이크 정리로 $\widehat{f_\alpha} \in \mathcal{R}^*[0,\infty]$이고

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\int_0^x e^{-\alpha\cdot t}\operatorname{d}\!t = \lim_{x\to \infty} \int_0^x f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{x\to \infty} \int_0^x \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \int_0^\infty \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{x\to \infty} F_\alpha(x) - F_\alpha(0) = 0 + \dfrac{1}{\alpha}\cdot e^{-\alpha\cdot 0} = \dfrac{1}{\alpha} \text{ 이다.}$

정리3

정의역이 임의의 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f: A\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $c\in \mathbb{R}$가 $A\cap (-\infty,c)$의 집적점이고 $f$가 $A\cap (-\infty,c)$에서 증가할때

$\{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\}$가 위로 유계이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c-}$$\,f(x)\in \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) = $ $\sup$$ \{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\}$가 성립한다.

2. $c\in \mathbb{R}$가 $A\cap (c,\infty)$의 집적점이고 $f$가 $A\cap (c,\infty)$에서 증가할때

$\{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\}$가 아래로 유계이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c+}$$\,f(x) \in \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = $ $\inf$$ \{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\}$가 성립한다.

3. $c\in \mathbb{R}$가 $A\cap (-\infty,c)$의 집적점이고 $f$가 $A\cap (-\infty,c)$에서 감소할때

$\{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\}$가 아래로 유계이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) \in \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) = \inf \{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\}$가 성립한다.

4. $c\in \mathbb{R}$가 $A\cap (c,\infty)$의 집적점이고 $f$가 $A\cap (c,\infty)$에서 감소할때

$\{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\}$가 위로 유계이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) \in \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = \sup \{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\}$가 성립한다.

증명

$\displaystyle \lim_{x\to c-}f(x) = L\in \mathbb{R}$이 존재하면

편측극한의 정의로 $0 < c - x < \delta$인 모든 $x\in A$가 $|f(x) - L| < 1$이 되는 $\delta\in (0,\infty)$가 존재하여

$-1 < f(x) - L < 1$이므로 $f(x) < L +1$이고 집적점의 정의로 $|c- x_\delta| < \delta$인 $x_\delta \in A\cap (-\infty,c)$가 존재하여

$x_\delta < c$이고 $0 < c - x_\delta = |c-x_\delta| < \delta$임에 따라 $f(x_\delta) < L+1$이므로

모든 $x\in A\cap (-\infty,c)$에 대해 $x\le x_\delta$이면 증가함수의 정의로 $f(x)\le f(x_\delta) < L+1$이고

$x_\delta < x$이면 $x_\delta < x < c$임에 따라 $-c < -x < -x_\delta$이고 $0 < c- x < c - x_\delta < \delta$가 되어 $f(x) < L +1$이므로

$\{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\}$는 위로 유계이다.

역으로 $\{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\}$가 위로 유계이면 집적점의 정의로 $A\cap (-\infty,c)\ne \emptyset$임에 따라

$\{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c) \}$은 공집합이 아니므로 완비성으로 $\sup \{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c) \} = L\in \mathbb{R}$이 존재한다.

임의의 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 상한 정리로 $L - \epsilon < f(x_{\epsilon}) \le L$인 $x_{\epsilon} \in A\cap (-\infty,c)$이 존재하여 $x_\epsilon < c$이므로

$\delta(\epsilon) = c - x_\epsilon > 0$일때

$0 < c - x < \delta(\epsilon) = c - x_\epsilon$인 모든 $x\in A$는 $x_\epsilon < x < c$이고 $f$가 $A\cap (-\infty,c)$에서 증가함에 따라

$L - \epsilon < f(x_{\epsilon}) \le f(x) \le L < L + \epsilon$이 되어 $|f(x) - L| < \epsilon$이므로

편측극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to c-}f(x) = L = \sup \{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c) \}$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to c+}f(x) = L\in \mathbb{R}$이 존재하면

편측극한의 정의로 $0 < x - c < \delta$인 모든 $x\in A$가 $|f(x) - L| < 1$이 되는 $\delta\in (0,\infty)$가 존재하여

$-1 < f(x) - L < 1$이므로 $L - 1 < f(x)$이고 집적점의 정의로 $|x_\delta -c| < \delta$인 $x_\delta \in A\cap (c,\infty)$가 존재하여

$c < x_\delta $이고 $0 < x_\delta -c = |x_\delta -c| < \delta$임에 따라 $L -1 < f(x_\delta)$이므로

모든 $x\in A\cap (c,\infty)$에 대해 $x_\delta\le x$이면 증가함수의 정의로 $L -1 < f(x_\delta) \le f(x)$이고

$x < x_\delta$이면 $c < x < x_\delta$임에 따라 $0 < x - c < x_\delta -c < \delta$가 되어 $L-1 < f(x)$이므로

$\{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\}$는 아래로 유계이다.

역으로 $\{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\}$가 아래로 유계이면 집적점의 정의로 $A\cap (c,\infty)\ne \emptyset$임에 따라

$\{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\}$은 공집합이 아니므로 완비성으로 $\inf \{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty) \} = M\in \mathbb{R}$이 존재한다.

임의의 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 하한 정리로 $M \le f(x_{\epsilon}) < M + \epsilon$인 $x_{\epsilon }\in A\cap (c,\infty)$이 존재하여 $c < x_\epsilon$이므로

$\delta(\epsilon) = x_\epsilon - c > 0$일때

$0 < x - c < \delta(\epsilon) = x_\epsilon - c$인 모든 $x\in A$는 $c < x < x_\epsilon$이고 $f$가 $A\cap (c,\infty)$에서 증가함에 따라

$M - \epsilon < M \le f(x) \le f(x_{\epsilon}) < M +\epsilon$이 되어 $|f(x) - M| < \epsilon$이므로

편측극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to c+}f(x) = M = \inf \{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty) \}$이다.

모든 $x\in A$에 대해 $g(x) = -f(x)$인 함수 $g : A\to \mathbb{R}$는 $A\cap (-\infty,c)$에서 증가하므로

1번과 편측극한 정리와 함수 정리로

$\begin{align*}-\lim_{x\to c-}f(x) &= \lim_{x\to c-}(-f(x)) \\[0.5em]&=\lim_{x\to c-} g(x)\\[0.5em]& = \sup\{ g(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\} \\[0.5em]&= \sup \{ -f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\} \\[0.5em]& = -\inf \{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\} \text{ 가 되어} \end{align*}$

$\displaystyle \lim_{x\to c-}f(x) = \inf \{ f(x) : x\in A\cap (-\infty,c)\}$이다.

모든 $x\in A$에 대해 $g(x) = -f(x)$인 함수 $g : A\to \mathbb{R}$는 $A\cap (c,\infty)$에서 증가하므로

2번과 편측극한 정리와 함수 정리로

$\begin{align*}-\lim_{x\to c+}f(x) &= \lim_{x\to c+}(-f(x)) \\[0.5em]&=\lim_{x\to c+} g(x)\\[0.5em]& = \inf \{ g(x) : x\in A\cap (c,\infty)\} \\[0.5em]&= \inf \{ -f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\} \\[0.5em]& = -\sup \{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\} \text{ 가 되어} \end{align*}$

$\displaystyle \lim_{x\to c+}f(x) = \sup\{ f(x) : x\in A\cap (c,\infty)\}$이다.

정리4

정의역이 임의의 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f: A\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(a,\infty)\subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $f$가 $(a,\infty)$에서 증가할때

$\{ f(x) : x\in (a,\infty)\}$가 위로 유계이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}$$\,f(x) \in \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = $ $\sup$$ \{ f(x) : x\in (a,\infty)\}$가 성립한다.

2. $(-\infty,b)\subseteq A$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $f$가 $(-\infty,b)$에서 증가할때

$\{ f(x) : x\in (-\infty,b)\}$가 아래로 유계이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}$$\,f(x)\in \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = $ $\inf$$ \{ f(x) : x\in (-\infty,b)\}$가 성립한다.

3. $(a,\infty)\subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $f$가 $(a,\infty)$에서 감소할때

$\{ f(x) : x\in (a,\infty)\}$가 아래로 유계이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)\in \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = \inf \{ f(x) : x\in (a,\infty)\}$가 성립한다.

4. $(-\infty,b)\subseteq A$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $f$가 $(-\infty,b)$에서 감소할때

$\{ f(x) : x\in (-\infty,b)\}$가 위로 유계이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) \in \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = \sup \{ f(x) : x\in (-\infty,b)\}$가 성립한다.

증명

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = L \in \mathbb{R}$이 존재하면

극한의 정의로 $K < x$인 모든 $x\in A$가 $|f(x) - L| < 1$이 되는 $K \in (a,\infty)$가 존재하여

$-1 < f(x) - L < 1$이므로 $f(x) < L + 1$이고 $a < K < x_K$인 $x_K\in (a,\infty)\subseteq A$는 $f(x_K) < L +1$이 되어

모든 $x\in (a,\infty)\subseteq A$에 대해 $x\le x_K$이면 증가함수의 정의로 $f(x)\le f(x_K) < L+1$이고

$x_K < x$이면 $a < K < x_K < x$임에 따라 $f(x) < L +1$이 되어 $\{ f(x) : x\in (a,\infty)\}$는 위로 유계이다.

역으로 $\{ f(x) : x\in (a,\infty)\}$가 위로 유계이면 $(a,\infty)\ne \emptyset$이므로

$\{ f(x) : x\in (a,\infty) \}$은 공집합이 아니고 완비성으로 상한 $\sup \{ f(x) : x\in (a,\infty) \} = L\in \mathbb{R}$이 존재한다.

임의의 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 상한 정리로 $L - \epsilon < f(x_{\epsilon}) \le L$인 $x_{\epsilon} \in (a,\infty)$이 존재하고

$f$는 $(a,\infty)$에서 증가하므로 $a < x_{\epsilon} < x$인 모든 $x\in A$가 $L - \epsilon < f(x_{\epsilon}) \le f(x) \le L < L + \epsilon$이 되어

$|f(x) - L| < \epsilon$임에 따라 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = L = \sup \{ f(x) : x\in (a,\infty) \}$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = L\in \mathbb{R}$이 존재하면

극한의 정의로 $x < K$인 모든 $x\in A$가 $|f(x) - L| < 1$이 되는 $K \in (-\infty,b)$가 존재하여

$-1 < f(x) - L < 1$이므로 $L-1 < f(x)$이고 $x_K < K < b$인 $x_K\in (-\infty,b)\subseteq A$는 $L-1 < f(x_K)$가 되어

모든 $x\in (-\infty,b)\subseteq A$에 대해 $x_K\le x$이면 증가함수의 정의로 $L-1 < f(x_K)\le f(x)$이고

$x < x_K$이면 $x < x_K < K < b$임에 따라 $L-1 < f(x)$가 되어 $\{ f(x) : x\in (-\infty,b)\}$는 아래로 유계이다.

역으로 $\{ f(x) : x\in (-\infty,b)\}$가 아래로 유계이면 $(-\infty,b)\ne \emptyset$이므로

$\{ f(x) : x\in (-\infty,b)\}$은 공집합이 아니고 완비성으로 하한 $\inf \{ f(x) : x\in (-\infty,b) \} = M\in \mathbb{R}$이 존재한다.

임의의 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 하한 정리로 $M \le f(x_{\epsilon}) < M + \epsilon$인 $x_{\epsilon }\in (-\infty,b)$이 존재하고

$f$는 $(-\infty,b)$에서 증가하므로 $x < x_{\epsilon} < b$인 모든 $x\in A$가 $M - \epsilon < M \le f(x) \le f(x_{\epsilon}) < M +\epsilon$이 되어

$|f(x) - M| < \epsilon$임에 따라 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = M = \inf \{ f(x) : x\in (-\infty,b) \}$이다.

모든 $x\in A$에 대해 $g(x) = -f(x)$인 함수 $g : A\to \mathbb{R}$는 $(a,\infty)$에서 증가하므로 1번과 극한 정리와 함수 정리로

$\begin{align*}-\lim_{x\to \infty }f(x) &= \lim_{x\to \infty}(-f(x)) \\[0.5em]&=\lim_{x\to \infty} g(x)\\[0.5em]& = \sup\{ g(x) : x\in (a,\infty)\} \\[0.5em]&= \sup \{ -f(x) : x\in (a,\infty)\} \\[0.5em]& = -\inf \{ f(x) : x\in (a,\infty)\} \text{ 가 되어} \end{align*}$

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = \inf \{ f(x) : x\in (a,\infty)\}$이다.

모든 $x\in A$에 대해 $g(x) = -f(x)$인 함수 $g : A\to \mathbb{R}$는 $(-\infty,b)$에서 증가하므로 2번과 극한 정리와 함수 정리로

$\begin{align*}-\lim_{x\to -\infty}f(x) &= \lim_{x\to -\infty}(-f(x)) \\[0.5em]&=\lim_{x\to -\infty} g(x)\\[0.5em]& = \inf \{ g(x) : x\in (-\infty,b)\} \\[0.5em]&= \inf \{ -f(x) : x\in (-\infty,b)\} \\[0.5em]& = -\sup \{ f(x) : x\in (-\infty,b)\} \text{ 가 되어} \end{align*}$

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = \sup\{ f(x) : x\in (-\infty,b)\}$이다.

정리5

다음이 성립한다.

1. $a\le b$인 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 함수 $f: [a,b]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $0\le f(x)$일때

$f\in $ $\mathcal{R}^*[a,b]$이면 $\alpha\le \beta$인 모든 $\alpha,\beta\in [a,b]$에 대해 $0\le \displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_a^b f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

2. 임의의 구간 $I$의 $a\le b$인 모든 $a,b\in I$에 대해 함수 $\phi : I\to \mathbb{R}$가 $\phi|_{[a,b]}\in \mathcal{R}^*[a,b]$이고

모든 $x \in I$에 대해 $0\le \phi(x)$일때

임의의 $c\in I$에 대해 모든 $t\in I$가 $\Phi(t) = \displaystyle \int_c^t \phi(x)\operatorname{d}\!x$인 함수 $\Phi : I\to \mathbb{R}$는 $I$에서 증가함수이다.

3. 임의의 구간 $I$의 $a\le b$인 모든 $a,b\in I$에 대해 함수 $\psi : I\to \mathbb{R}$가 $\psi|_{[a,b]}\in \mathcal{R}^*[a,b]$이고

모든 $x \in I$에 대해 $0\le \psi(x)$일때

임의의 $c\in I$에 대해 모든 $t\in I$가 $\Psi(t) = \displaystyle \int_t^c \psi(x)\operatorname{d}\!x$인 함수 $\Psi : I\to \mathbb{R}$는 $I$에서 감소함수이다.

증명

$f\in \mathcal{R}^*[a,b]$이므로 적분 정리로 $f|_{[\alpha,\beta]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,\beta]$가 되어 모든 $x\in [\alpha,\beta]\subseteq [a,b]$에 대해 $0\le f(x)$임에 따라

리만적분 정리와 일관성 정리와 적분 정리로 $\displaystyle 0=0\cdot (\beta-\alpha) = \int_\alpha^\beta 0\operatorname{d}\!x \le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x $이고

가법 정리로 $\displaystyle 0 \le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_a^\alpha f(x) \operatorname{d}\!x + \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x +\int_\beta^b f(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^b f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

모든 $t\in I$에 대해 $c\le t$이면 1번으로 $0 \le \displaystyle \int_c^t \phi(x)\operatorname{d}\!x = \Phi(t)$이고

$t\le c$이면 1번으로 $0 \le \displaystyle \int_t^c \phi(x)\operatorname{d}\!x$이므로 적분의 정의로 $\Phi(t) = \displaystyle \int_c^t \phi(x)\operatorname{d}\!x = -\int_t^c \phi(x)\operatorname{d}\!x\le 0$이다.

$t_1\le t_2$인 임의의 $t_1,t_2\in I$에 대해

$c\le t_1\le t_2$이면 $[c,t_1]\subseteq [c,t_2]$이므로 $\Phi(t_1) = \displaystyle \int_c^{t_1}f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_c^{t_2}f(x)\operatorname{d}\!x = \Phi(t_2)$이고

$t_1\le c\le t_2$이면 $\Phi(t_1) = \displaystyle \int_c^{t_1} \phi(x)\operatorname{d}\!x = -\int_{t_1}^c \phi(x)\operatorname{d}\!x\le 0 \le \int_c^{t_2} \phi(x)\operatorname{d}\!x = \Phi(t_2)$이고

$t_1\le t_2\le c$이면 $[t_2,c]\subseteq [t_1,c]$이므로

$-\Phi(t_2) = \displaystyle -\int_c^{t_2}f(x)\operatorname{d}\!x = \int_{t_2}^c f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_{t_1}^c f(x)\operatorname{d}\!x = -\int_c^{t_1} f(x)\operatorname{d}\!x = - \Phi(t_1)$이 되어

$\Phi(t_1)\le \Phi(t_2)$임에 따라 $\Phi$는 $I$에서 증가함수이다.

적분의 정의로 모든 $t\in I$에 대해 $\Psi(t) = \displaystyle \int_t^c \psi(x)\operatorname{d}\!x = -\int_c^t \psi(x)\operatorname{d}\!x$이므로

2번과 단조함수 정리로 $\Psi$는 $I$에서 감소함수이다.

정리6

$a\le b$인 임의의 실수 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 함수 $f,g: [a,b]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in (a,b)$에 대해 $0\le f(x)\le g(x)$일때

$\alpha\le \beta$인 모든 $\alpha,\beta\in (a,b)$에 대해 $f|_{[\alpha,\beta]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,\beta]$이고 $g\in $ $\mathcal{R}^*[a,b]$이면 $f\in \mathcal{R}^*[a,b]$이다.

2. 함수 $f,g: [a,\infty]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in (a,\infty]$에 대해 $0\le f(x)\le g(x)$일때

$\alpha\le \beta$인 모든 $\alpha,\beta\in (a,\infty)$에 대해 $f|_{[\alpha,\beta]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,\beta]$이고 $g\in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이면 $f\in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이다.

3. 함수 $f,g: [-\infty,b]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in [-\infty,b)$에 대해 $0\le f(x)\le g(x)$일때

$\alpha\le \beta$인 모든 $\alpha,\beta\in (-\infty,b)$에 대해 $f|_{[\alpha,\beta]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,\beta]$이고 $g\in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이면 $f\in \mathcal{R}^*[-\infty,b]$이다.

4. 함수 $f,g: [-\infty,\infty]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in [-\infty,\infty]$에 대해 $0\le f(x)\le g(x)$일때

$\alpha\le \beta$인 모든 $\alpha,\beta\in (-\infty,\infty)$에 대해 $f|_{[\alpha,\beta]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,\beta]$이고 $g\in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이면 $f\in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이다.

증명

$a = b$이면 적분의 정의로 $f\in \mathcal{R}^*[a,b]$이다.

$a < b$이면 임의의 $c \in (a,b)$에 대해

위 정리로 모든 $t\in (a,c]$가 $F_1(t) = \displaystyle \int_t^c f(x)\operatorname{d}\!x$인 함수 $F_1 : (a,c]\to \mathbb{R}$은 $(a,c]$에서 감소함수이고

적분 정리와 위 정리로 $F_1(t) = \displaystyle \int_t^c f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_t^c g(x)\operatorname{d}\!x \le \int_a^b g(x)\operatorname{d}\!x$이므로

위 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to a+}F_1(t) = \lim_{t\to a+}\int_t^c f(x)\operatorname{d}\!x\in \mathbb{R}$가 존재하여 헤이크 정리로 $f|_{[a,c]}\in \mathcal{R}^*[a,c]$이다.

위 정리로 모든 $t\in [c,b)$가 $F_2(t) = \displaystyle \int_c^t f(x)\operatorname{d}\!x$인 함수 $F_2 : [c,b) \to \mathbb{R}$는 $[c,b)$에서 증가함수이고

적분 정리와 위 정리로 $F_2(t) = \displaystyle \int_c^t f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_c^t g(x)\operatorname{d}\!x \le \int_a^b g(x)\operatorname{d}\!x$이므로

위 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to b-}F_2(t) = \lim_{t\to b-}\int_c^t f(x)\operatorname{d}\!x\in \mathbb{R}$가 존재하여 헤이크 정리로 $f|_{[c,b]}\in \mathcal{R}^*[c,b]$임에 따라

가법 정리로 $f\in \mathcal{R}^*[a,b]$이다.

$g\in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이므로 $0\le f(\infty)\le g(\infty) = 0$이 되어 $f(\infty) = 0$이고

임의의 $c\in (a,\infty)$에 대해 적분 정리로 $g|_{[a,c]}\in \mathcal{R}^*[a,c]$이므로 1번으로 $f|_{[a,c]}\in \mathcal{R}^*[a,c]$이다.

적분의 정의와 적분 정리와 위 정리로 모든 $t\in [c,\infty)$에 대해

$F(t) = \displaystyle \int_c^t f(x)\operatorname{d}\!x$이고 $G(t) = \displaystyle \int_c^t g(x)\operatorname{d}\!x$인 함수 $F,G : [c,\infty) \to \mathbb{R}$는 $[c,\infty)$에서 증가함수이고

적분 정리와 헤이크 정리와 위 정리와 상한의 정의로

$F(t) = \displaystyle \int_c^t f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_c^t g(x)\operatorname{d}\!x = G(t) \le \sup G([c,\infty))= \lim_{\beta \to \infty} G(\beta) = \lim_{\beta \to \infty} \int_c^\beta g(x)\operatorname{d}\!x = \int_c^\infty g(x)\operatorname{d}\!x \text{ 이므로}$

위 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}F(t) = \lim_{t\to \infty}\int_c^t f(x)\operatorname{d}\!x\in \mathbb{R}$가 존재하여 헤이크 정리로 $f|_{[c,\infty]}\in \mathcal{R}^*[c,\infty]$임에 따라

가법 정리로 $f \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이다.

$g\in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이므로 $0\le f(-\infty)\le g(-\infty) = 0$이 되어 $f(-\infty) = 0$이고

임의의 $c\in (-\infty,b)$에 대해 적분 정리로 $g|_{[c,b]}\in \mathcal{R}^*[c,b]$이므로 1번으로 $f|_{[c,b]}\in \mathcal{R}^*[c,b]$이다.

적분의 정의와 적분 정리와 위 정리로 모든 $t\in (-\infty,c]$에 대해

$F(t) = \displaystyle \int_t^c f(x)\operatorname{d}\!x$이고 $G(t) = \displaystyle \int_t^c g(x)\operatorname{d}\!x$인 함수 $F,G : (-\infty,c] \to \mathbb{R}$는 $(-\infty,c]$에서 감소함수이고

적분 정리와 헤이크 정리와 위 정리와 상한의 정의로

$F(t) = \displaystyle \int_t^c f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_t^c g(x)\operatorname{d}\!x = G(t) \le \sup G((-\infty,c])= \lim_{\alpha\to -\infty} G(\alpha) = \lim_{\alpha\to -\infty} \int_\alpha^c g(x)\operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^c g(x)\operatorname{d}\!x \text{ 이므로}$

위 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to -\infty}F(t) = \lim_{t\to -\infty}\int_t^c f(x)\operatorname{d}\!x\in \mathbb{R}$가 존재하여 헤이크 정리로 $f|_{[-\infty,c]}\in \mathcal{R}^*[-\infty,c]$임에 따라

가법 정리로 $f \in \mathcal{R}^*[-\infty,b]$이다.

임의의 $c\in (-\infty,\infty)$에 대해 적분 정리로 $g|_{[-\infty,c]}\in \mathcal{R}^*[-\infty,c]$이고 $g|_{[c,\infty]}\in \mathcal{R}^*[c,\infty]$이므로

2, 3번으로 $f|_{[-\infty,c]}\in \mathcal{R}^*[-\infty,c]$이고 $f|_{[c,\infty]}\in \mathcal{R}^*[c,\infty]$임에 따라 가법 정리로 $f \in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이다.

정리7

다음이 성립한다.

1. 자연로그함수 $\ln :(0,\infty)\to \mathbb{R}$와 임의의 $\alpha\in (0,\infty)$에 대해 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}$$\,\dfrac{\ln(t)}{t^\alpha} = 0$이다.

2. $\alpha \ne -1$인 임의의 $\alpha\in \mathbb{R}$에 대해 함수 $f_\alpha : (0,\infty)\to \mathbb{R}$가 모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 $f_\alpha(t) = t^\alpha$이고

무한닫힌구간 $[0,\infty]$에서 $f_\alpha$의 영확장함수가 $\widehat{f_\alpha} : [0,\infty]\to \mathbb{R}$일때

$\alpha > -1$이면 모든 $b\in (0,\infty)$에 대해 $\widehat{f_\alpha}$의 축소함수 $\widehat{f_\alpha}|_{[0,b]} : [0,b]\to \mathbb{R}$는 $[0,b]$에서 일반리만적분가능하여

$\displaystyle \int_0^b \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{a\to 0+} \int_a^b t^\alpha\operatorname{d}\!t = \dfrac{b^{\alpha +1}}{\alpha +1}$이고

$\alpha < -1$이면 모든 $a\in (0,\infty)$에 대해 $\widehat{f_\alpha}$의 축소함수 $\widehat{f_\alpha}|_{[a,\infty]} : [a,\infty]\to \mathbb{R}$는 $[a,\infty]$에서 일반리만적분가능하여

$\displaystyle \int_a^\infty \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \infty} \int_a^b t^\alpha\operatorname{d}\!t = -\dfrac{a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$이다.

3. 오일러수 $e\in \mathbb{R}$와 임의의 $\alpha\in (0,\infty)$에 대해 $\displaystyle \lim_{t\to 0+}$$\displaystyle \,(t^\alpha\cdot e^{-t}) = 0 =\lim_{t\to \infty} (t^\alpha\cdot e^{-t})$이다.

4. 임의의 $\alpha\in (0,\infty)$에 대해 함수 $g_\alpha : [0,\infty)\to \mathbb{R}$가 모든 $t\in [0,\infty)$에 대해 $g_\alpha(t) =t^\alpha$이면

$a\le b$인 모든 $a,b\in [0,\infty)$에 대해 $g_\alpha$의 축소함수 $g_\alpha|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_a^b g_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b t^\alpha \operatorname{d}\!t = \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1 }$이다.

증명

모든 $t \in (0,\infty)$에 대해 거듭제곱 정리로 $t^\alpha > 0$이고 $\alpha > 0$이므로 거듭제곱 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty} t^\alpha = \infty$가 되어

극한 정리와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty} \dfrac{1}{\alpha\cdot t^\alpha} = \dfrac{1}{\alpha}\cdot \lim_{t\to \infty} \dfrac{1}{t^\alpha} = \dfrac{1}{\alpha}\cdot 0 = 0$임에 따라

자연로그 정리와 거듭제곱 정리와 로피탈의 법칙으로

$\displaystyle \lim_{t\to \infty} \dfrac{\ln(t)}{t^\alpha} = \lim_{t\to \infty} \dfrac{\ln'(t)}{\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(t^\alpha)} = \lim_{t\to \infty}\dfrac{\tfrac{1}{t}}{\alpha\cdot t^{\alpha-1}} = \lim_{t\to \infty}\dfrac{1}{\alpha\cdot t^\alpha} = 0$이다.

$a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 위 정리와 일관성 정리와 영확장함수 정리와 축소함수의 정의로

$\widehat{f_\alpha}|_{[a,b]} = f_\alpha|_{[a,b]}\in \mathcal{R}^*[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b t^\alpha \operatorname{d}\!t = \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1 }$이므로

$\alpha > -1$이면 $\alpha + 1 > 0$임에 따라 모든 $b\in (0,\infty)$에 대해 거듭제곱 정리와 극한 정리로

$\begin{align*} \lim_{a\to 0+} \int_a^b \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t & = \lim_{a\to 0+} \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & =\lim_{a\to 0+}\left ( \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right ) \\[0.5em] & = \dfrac{b^{\alpha +1}}{\alpha +1} - \dfrac{1}{\alpha +1}\cdot \lim_{a\to 0+}a^{\alpha +1} \\[0.5em] & = \dfrac{b^{\alpha +1}}{\alpha +1} - \dfrac{1}{\alpha +1}\cdot 0 \\[0.5em] & = \dfrac{b^{\alpha +1}}{\alpha +1} \text{ 이 되어} \end{align*}$

헤이크 정리로 $\widehat{f_\alpha}|_{[0,b]}\in \mathcal{R}^*[0,b]$이고 $\displaystyle \int_0^b \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{a\to 0+}\int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{a\to 0+} \int_a^b t^\alpha\operatorname{d}\!t = \dfrac{b^{\alpha +1}}{\alpha +1}$이다.

$\alpha < -1$이면 $\alpha +1 < 0$이므로 모든 $a \in (0,\infty)$에 대해 거듭제곱 정리와 극한 정리로

$\begin{align*} \lim_{b\to \infty} \int_a^b \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t & = \lim_{b\to \infty} \int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & =\lim_{b\to \infty}\left ( \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right ) \\[0.5em] & = \dfrac{1}{\alpha +1}\cdot \lim_{b\to \infty} b^{\alpha+1} - \dfrac{a^{\alpha +1}}{\alpha +1}\\[0.5em] & = \dfrac{1}{\alpha +1}\cdot 0 - \dfrac{a^{\alpha+1}}{\alpha +1} \\[0.5em] & = -\dfrac{a^{\alpha +1}}{\alpha +1} \text{ 이 되어} \end{align*}$

헤이크 정리로 $\widehat{f_\alpha}|_{[a,\infty]}\in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이고 $\displaystyle \int_a^\infty \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \infty}\int_a^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \infty} \int_a^b t^\alpha\operatorname{d}\!t = -\dfrac{a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$이다.

거듭제곱 정리와 지수함수 정리와 미분 연속성과 연속함수 정리와 합성 정리와

연속함수 정리와 극한 정리와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to 0+} (t^\alpha\cdot e^{-t}) = (\lim_{t\to 0+} t^\alpha )\cdot (\lim_{t\to 0+} e^{-t}) = 0 \cdot e^0 = 0$이고

아르키메데스 성질로 $\alpha < n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 지수함수 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty} (t^n\cdot e^{-t}) = \lim_{t\to \infty} \dfrac{t^n}{e^t} = 0$이므로

극한의 정의로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해

$t > K(\epsilon)$인 모든 $t\in (0,\infty)$가 $|t^n\cdot e^{-t} -0 | < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon)\in (0,\infty)$이 존재하고

$1 \le \max \{ K(\epsilon) ,1 \} < t$인 모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 거듭제곱 정리와 거듭제곱 정리와 지수함수 정리로

$0 < t^\alpha\cdot e^{-t} < t^n\cdot e^{-t} = |t^n\cdot e^{-t} - 0| <\epsilon$이므로 $|t^\alpha\cdot e^{-t} - 0| = t^\alpha\cdot e^{-t} <\epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}(t^\alpha\cdot e^{-t}) = 0$이다.

거듭제곱 정리로 $g_\alpha$는 $[0,\infty)$에서 연속이므로 연속함수 정리와 적분 정리로 $g_\alpha|_{[a,b]}\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$b = 0$이면 적분의 정의로 $\displaystyle \int_0^b g_\alpha(t) \operatorname{d}\!t = 0 = \dfrac{b^{\alpha +1} - 0^{\alpha +1}}{\alpha +1}$이고

$b > 0$이면 적분 정리와 연속함수 정리와 극한 정리와 일관성 정리와 2번으로

$\displaystyle \int_0^b g_\alpha(t) \operatorname{d}\!t = \lim_{a\to 0+}\int_a^b t^\alpha\operatorname{d}\!t = \dfrac{b^{\alpha +1}}{\alpha +1} = \dfrac{b^{\alpha +1} - 0^{\alpha +1}}{\alpha +1}$이고

$0 < a\le b$이면 위 정리로 $\displaystyle \int_a^b g_\alpha(t) \operatorname{d}\!t = \int_a^b t^\alpha\operatorname{d}\!t = \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$이므로

$a\le b$인 모든 $a,b\in [0,\infty)$에 대해 $\displaystyle \int_a^b g_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b t^\alpha \operatorname{d}\!t = \dfrac{b^{\alpha +1} - a^{\alpha +1}}{\alpha +1 }$이다.

정리8

임의의 실수 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 함수 $f: [a,\infty]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in [a,\infty)$에 대해 $0\le f(x)$일때 $f\in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이면

$\alpha\le \beta$인 모든 $\alpha,\beta \in [a,\infty)$에 대해 $\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_\alpha^\infty f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_a^\infty f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

2. 함수 $f: [-\infty,b]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in (-\infty,b]$에 대해 $0\le f(x)$일때 $f\in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이면

$\alpha\le \beta$인 모든 $\alpha,\beta \in (-\infty,b]$에 대해 $\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_{-\infty}^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_{-\infty}^b f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

3. 함수 $f: [-\infty,\infty]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in (-\infty,\infty)$에 대해 $0\le f(x)$일때 $f\in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이면

$\alpha\le \beta$인 모든 $\alpha,\beta \in (-\infty,\infty)$에 대해

$\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_\alpha^\infty f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_\infty^\infty f(x)\operatorname{d}\!x$이고 $\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_{-\infty}^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_{-\infty}^\infty f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

4. $a < b$이고 함수 $f: [a,b]\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $0 < f(x)$일때

$f$가 $[a,b]$에서 연속이거나 단조함수이면 $f\in $ $\mathcal{R}^*[a,b]$이고 $\displaystyle 0 < \int_a^b f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

증명

적분의 정의와 적분 정리로 $f|_{[\alpha,\beta]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,\beta]$이므로 위 정리로 $\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x$이고

모든 $t\in [\alpha,\infty)$에 대해 $\displaystyle F(t) = \int_\alpha^t f(x)\operatorname{d}\!x$인 함수 $F: [\alpha,\infty)\to \mathbb{R}$는 $[\alpha,\infty)$에서 증가함수이므로

적분 정리로 $f|_{[\alpha,\infty]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,\infty]$임에 따라 헤이크 정리와 위 정리와 상한의 정의로

$\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x = F(\beta) \le \sup F([\alpha,\infty)) = \lim_{t\to \infty} F(t) = \lim_{t\to \infty} \int_\alpha^t f(x)\operatorname{d}\!x = \int_\alpha^\infty f(x)\operatorname{d}\!x$이고

적분의 정의와 가법 정리로 $\displaystyle \int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^\alpha f(x)\operatorname{d}\!x + \int_\alpha^\infty f(x)\operatorname{d}\!x$이므로

$\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_\alpha^\infty f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_a^\infty f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

적분의 정의와 적분 정리로 $f|_{[\alpha,\beta]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,\beta]$이므로 위 정리로 $\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x$이고

모든 $t\in (-\infty,\beta]$에 대해 $\displaystyle F(t) = \int_t^\beta f(x)\operatorname{d}\!x$인 함수 $F: (-\infty,\beta]\to \mathbb{R}$는 $(-\infty,\beta]$에서 감소함수이므로

적분 정리로 $f|_{[-\infty,\beta]}\in \mathcal{R}^*[-\infty,\beta]$임에 따라 헤이크 정리와 위 정리와 상한의 정의로

$\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x = F(\alpha) \le \sup F((-\infty,\beta]) = \lim_{t\to -\infty} F(t) = \lim_{t\to -\infty} \int_t^\beta f(x)\operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^\beta f(x)\operatorname{d}\!x$이고

적분의 정의와 가법 정리로 $\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^\beta f(x)\operatorname{d}\!x + \int_\beta^b f(x)\operatorname{d}\!x$이므로

$\displaystyle 0\le \int_\alpha^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_{-\infty}^\beta f(x)\operatorname{d}\!x \le \int_{-\infty}^bf(x)\operatorname{d}\!x$이다.

가법 정리로 $\displaystyle \int_{-\infty}^\alpha f(x)\operatorname{d}\!x + \int_\alpha^\infty f(x)\operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^\infty f(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^\beta f(x)\operatorname{d}\!x + \int_\beta^\infty f(x)\operatorname{d}\!x$이므로

적분의 정의와 적분 정리와 1, 2번으로

리만적분 정리와 리만적분 정리와 일관성 정리로 $f\in \mathcal{R}^*[a,b]$이고

$f$가 $[a,b]$에서 연속이면 연속함수 정리로 $m = \min f([a,b])$가 존재하여

최소원소의 정의로 $m = \min f([a,b]) > 0$이고 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $m = \min f([a,b])\le f(x)$이고

$f$가 $[a,b]$에서 증가하면 $m = f(a) > 0$에 대해 모든 $x\in [a,b]$가 $a\le x$임에 따라 $m = f(a)\le f(x)$이고

$f$가 $[a,b]$에서 감소하면 $m = f(b) > 0$에 대해 모든 $x\in [a,b]$가 $x\le b$임에 따라 $m = f(b)\le f(x)$이므로

어떤 $m\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $0 < m \le f(x)$이고 $a < b$임에 따라 $0 < b-a$가 되어

리만적분 정리와 일관성 정리와 적분 정리로 $\displaystyle 0 < m \cdot (b-a) = \int_a^b m \operatorname{d}\!x \le \int_a^b f(x)\operatorname{d}\!x $이다.

정리9

오일러수가 $e\in \mathbb{R}$이고 임의의 $x,t\in (0,\infty)$에 대해 함수 $f_x: (0,\infty)\to \mathbb{R}$가 $f_x(t) = t^{x-1}\cdot e^{-t}$일때

무한닫힌구간 $[0,\infty]$에서 $f_x$의 영확장함수 $\widehat{f_x} : [0,\infty]\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 $f_x$의 축소함수 $f_x|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하다.

2. $\widehat{f_x}$는 $[0,\infty]$에서 일반리만적분가능하다.

3. 감마함수 $\Gamma : (0,\infty)\to \mathbb{R}$가 존재하여 $\displaystyle \Gamma(x) = \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b t^{x-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+} \int_a^b t^{x-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t$이다.

4. $\Gamma(x) > 0$

5. $\Gamma(x+1) = x\cdot \Gamma(x)$

6. 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\Gamma(n) = $ $(n-1)!$이다.

증명

$x -1 > -1$이므로 위 정리와 위 정리와 곱셈 정리로 $f_x|_{[a,b]}\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

자연로그함수가 $\ln :(0,\infty)\to \mathbb{R}$일때

위 정리와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty} \left ( 2\cdot (x-1)\cdot \dfrac{\ln(t)}{t} \right ) = 2\cdot (x-1)\cdot \lim_{t\to \infty} \dfrac{\ln(t)}{t} = 2\cdot (x-1)\cdot 0 = 0$이므로

극한의 정의로 $t > c_x$인 모든 $t\in (0,\infty)$가 $\left | 2\cdot (x-1)\cdot \dfrac{\ln(t)}{t} - 0 \right | < 1$이 되는 $c_x \in (0,\infty)$가 존재하여

$2\cdot (x-1)\cdot \dfrac{\ln(t)}{t} \le \left | 2\cdot (x-1)\cdot \dfrac{\ln(t)}{t} - 0 \right | < 1$임에 따라 $(x-1)\cdot \ln(t) < \dfrac{1}{2}\cdot t = t - \dfrac{1}{2}\cdot t$이고

$(x-1)\cdot \ln(t) - t < - \dfrac{1}{2}\cdot t$이므로 거듭제곱 정리와 거듭제곱의 정의와 지수함수 정리와 지수함수 정리로

$0 < t^{x-1}\cdot e^{-t} = e^{(x-1)\cdot \ln(t)}\cdot e^{-t} = e^{(x-1)\cdot \ln(t) - t} < e^{- \frac{1}{2}\cdot t}$가 되어

1번과 위 정리와 적분 정리와 위 정리로 $\widehat{f_x}|_{[c_x,\infty]}\in \mathcal{R}^*[c_x,\infty]$이다.

모든 $t\in (0,c_x)$에 대해 지수함수 정리로 $1 < 1 + t < e^t$이므로 $e^{-t} = \dfrac{1}{e^t} < 1$이 되어 $0 < t^{x-1}\cdot e^{-t} < t^{x-1}$이고

$x > 0$이므로 $x -1 > -1$이 되어 1번과 위 정리와 위 정리로 $\widehat{f_x}|_{[0,c_x]}\in \mathcal{R}^*[0,c_x]$임에 따라

가법 정리로 $\widehat{f_x}\in \mathcal{R}^*[0,\infty]$이다.

2번으로 감마함수가 존재하여 적분 정리로

$\displaystyle \Gamma(x) = \int_0^\infty \widehat{f_x}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b \widehat{f_x}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b f_x(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b t^{x-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t $이고

$\displaystyle \Gamma(x) = \int_0^\infty \widehat{f_x}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \infty} \lim_{a\to 0+} \int_a^b \widehat{f_x}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+} \int_a^b f_x(t)\operatorname{d}\!t =\lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+} \int_a^b t^{x-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t$이다.

거듭제곱 정리와 지수함수 정리와 미분 연속성과 연속함수 정리로 $f_x|_{[1,2]}$는 $[1,2]$에서 연속이고

거듭제곱 정리와 지수함수 정리와 모든 $t\in [1,2]$에 대해 $0 < t^{x-1}\cdot e^{-t} = f_x(t) = f_x|_{[1,2]}(t)$이므로

감마함수의 정의와 일관성 정리와 위 정리로 $\displaystyle 0 < \int_1^2 f_x(t)\operatorname{d}\!t = \int_1^2 \widehat{f_x}(t)\operatorname{d}\!t \le \int_0^\infty \widehat{f_x}(t)\operatorname{d}\!t = \Gamma(x)$이다.

거듭제곱 정리와 지수함수 정리와 미분 정리와 연쇄법칙으로

모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 $F(t) = \dfrac{1}{x}\cdot t^x$이고 $G(t) = e^{-t}$인 함수 $F,G : (0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(0,\infty)$에서 미분가능하여

$F'(t) = \dfrac{1}{x}\cdot (x\cdot t^{x-1}) = t^{x-1}$이고 $G'(t) = e^{-t} \cdot (-1) = -e^{-t}$이므로

미분연속성과 연속함수 정리로 $F',G'$은 $(0,\infty)$에서 연속이다.

미분 정리와 연속함수 정리와 리만적분 정리와 부분 적분법과

일관성 정리와 3번과 위 정리와 극한 정리와 극한 정리와 적분 정리로

$\begin{align*} \Gamma(x) & = \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b t^{x-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b F'(t)\cdot G(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \left ( F(b)\cdot G(b) - F(a)\cdot G(a) - \int_a^b F(t)\cdot G'(t)\operatorname{d}\!t \right ) \\[0.5em] & = \lim_{b\to \infty} ( F(b)\cdot G(b) ) - \lim_{a\to 0+}( F(a)\cdot G(a)) - \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b F(t)\cdot G'(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{b\to \infty} \left ( \dfrac{1}{x}\cdot b^x \cdot e^{-b} \right ) - \lim_{a\to 0+} \left ( \dfrac{1}{x}\cdot a^x \cdot e^{-a}\right ) - \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b \dfrac{1}{x}\cdot t^x\cdot (-e^{-t})\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \dfrac{1}{x}\cdot \lim_{b\to \infty} \left ( b^x \cdot e^{-b} \right ) - \dfrac{1}{x}\cdot \lim_{a\to 0+} \left ( a^x \cdot e^{-a}\right ) + \dfrac{1}{x}\cdot \lim_{a\to 0+}\lim_{b\to \infty} \int_a^b t^x\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \dfrac{1}{x}\cdot 0 - \dfrac{1}{x}\cdot 0 + \dfrac{1}{x}\cdot \Gamma(x+1) \\[0.5em] & = \dfrac{1}{x}\cdot \Gamma(x+1) \text{ 이므로} \end{align*}$

$\Gamma(x+1) = x\cdot \Gamma(x)$이다.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$일때 3번과 위 정리와 리만적분 정리와 연속함수 정리와 극한 정리와 팩토리얼의 정의로

$\displaystyle \Gamma(1) = \lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+} \int_a^b t^0\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+}\int_a^b e^{-t}\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \infty}\int_0^b e^{-t}\operatorname{d}\!t = 1 = 0!$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\Gamma(k) = (k-1)!$일때 6번과 팩토리얼의 정의로 $\Gamma(k+1) = k\cdot \Gamma(k) = k\cdot (k-1)! = k!$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\Gamma(n) = (n-1)!$이다.

정리10

임의의 $A,B\subseteq \mathbb{R}$에 대해 함수 $f: A\to \mathbb{R}$와 함수 $\varphi : B\to \mathbb{R}$가 $\varphi(B)\subseteq A$일때

확장된 실수집합 $\overline{\mathbb{R}} = [-\infty,\infty]$와 확장된 실수연산에 대해 다음이 성립한다.

1. $(a,\infty)\subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때

$(b,\infty) \subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\varphi(x) = \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

2. $(-\infty,a) \subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때

$(b,\infty) \subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\varphi(x) = -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to -\infty}f(x)$이다.

3. $(a,\infty)\subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때

$(-\infty,b) \subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\varphi(x) = \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

4. $(-\infty,a) \subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때

$(-\infty,b) \subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\varphi(x) = -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to-\infty}f(x)$이다.

5. $(b,\infty) \subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\varphi(x) = \infty$이면 모든 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(c\cdot \varphi(x)) = c \cdot \infty$이다.

6. $(b,\infty) \subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\varphi(x) = -\infty$이면 모든 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(c\cdot \varphi(x)) = c \cdot (-\infty)$이다.

7. $(-\infty,b) \subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\varphi(x) = \infty$이면 모든 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}(c\cdot \varphi(x)) = c\cdot \infty$이다.

8. $(-\infty,b) \subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\varphi(x) = -\infty$이면 모든 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}(c\cdot \varphi(x)) =c\cdot (-\infty)$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 1, 5번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = L \in (-\infty,\infty)$일때 극한의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$y > K(\epsilon)$인 모든 $y \in A$가 $|f(y) - L| < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in (a,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$x > H(K(\epsilon))$인 모든 $x\in B$가 $\varphi(x) > K(\epsilon) > a$이 되는 $H(K(\epsilon))\in (b,\infty)$가 존재하므로

$\varphi(x)\in (a,\infty)\subseteq A$임에 따라 $|f(\varphi(x)) - L| < \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = L = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = -\infty$일때 극한의 정의로 모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해

$y > K(\beta)$인 모든 $y\in A$가 $f(y) < \beta$가 되는 $K(\beta)\in (a,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$x > H(K(\beta))$인 모든 $x\in B$가 $\varphi(x) > K(\beta) > a$이 되는 $H(K(\beta))\in (b,\infty)$가 존재하므로

$\varphi(x)\in (a,\infty)\subseteq A$임에 따라 $f(\varphi(x)) < \beta$가 되어 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = -\infty = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = \infty$일때 극한의 정의로 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$y > K(\alpha)$인 모든 $y\in A$가 $f(y) > \alpha$가 되는 $K(\alpha)\in (a,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$x > H(K(\alpha))$인 모든 $x\in B$가 $\varphi(x) > K(\alpha) > a$이 되는 $H(K(\alpha))\in (b,\infty)$가 존재하므로

$\varphi(x)\in (a,\infty)\subseteq A$임에 따라 $f(\varphi(x)) > \alpha$가 되어 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = \infty = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

$c = 0$일때 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(c\cdot \varphi(x)) = \lim_{x\to \infty}0 = 0 = 0\cdot \infty = c \cdot \infty$이다.

$c \ne 0$일때 극한의 정의로 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$x > K(\frac{\alpha}{c})$인 모든 $x\in B$가 $\varphi(x) > \dfrac{\alpha}{c}$가 되는 $K(\frac{\alpha}{c})\in (b,\infty)$가 존재하여

$c > 0$이면 $c\cdot \varphi(x) > \alpha$임에 따라 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(c\cdot \varphi(x)) = \infty = c\cdot \infty$이고

$c < 0$이면 $c\cdot \varphi(x) < \alpha$임에 따라 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}(c\cdot \varphi(x)) = -\infty = c\cdot \infty$이다.

정리11

무한닫힌구간 $[-\infty,\infty]$에서 함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$의 영확장함수 $\widehat{f} : [-\infty,\infty]\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 짝함수일때 모든 $a\in [0,\infty)$에 대해

$f|_{[-a,0]}\in $ $\mathcal{R}^*[-a,0]$이기 위한 필요충분조건은 $f|_{[0,a]}\in \mathcal{R}^*[0,a]$인 것이다.

이때 $f|_{[-a,a]}\in \mathcal{R}^*[-a,a]$이고 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x$가 성립한다.

2. $f$가 홀함수일때 모든 $a\in [0,\infty)$에 대해

$f|_{[-a,0]}\in \mathcal{R}^*[-a,0]$이기 위한 필요충분조건은 $f|_{[0,a]}\in \mathcal{R}^*[0,a]$인 것이다.

이때 $f|_{[-a,a]}\in \mathcal{R}^*[-a,a]$이고 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 0$과 $\displaystyle \int_0^a f(x) \operatorname{d}\!x = -\int_{-a}^0 f(x)\operatorname{d}\!x$가 성립한다.

3. $f$가 짝함수일때 $\widehat{f}|_{[-\infty,0]}\in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,0]$이기 위한 필요충분조건은 $\widehat{f}|_{[0,\infty]}\in $ $\mathcal{R}^*[0,\infty]$인 것이다.

이때 $\widehat{f}\in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이고 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_0^{\infty} \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-\infty}^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x $이다.

4. $f$가 홀함수일때 $\widehat{f}|_{[-\infty,0]}\in \mathcal{R}^*[-\infty,0]$이기 위한 필요충분조건은 $\widehat{f}|_{[0,\infty]}\in \mathcal{R}^*[0,\infty]$인 것이다.

이때 $\widehat{f}\in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이고 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x = 0$과 $\displaystyle \int_0^{\infty} \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x = - \int_{-\infty}^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x$가 성립한다.

5. $\widehat{f}\in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이면 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x = $ $\displaystyle \lim_{t\to \infty}$$\displaystyle\, \int_{-t}^t f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

증명

1, 2

$a = 0$이면 적분의 정의로 $f|_{[-a,a]} = f|_{[-a,0]} = f|_{[0,a]} \in \mathcal{R}^*[0,0]= \mathcal{R}^*[-a,a] = \mathcal{R}^*[0,a]= \mathcal{R}^*[-a,0]$이고

$\displaystyle 0 = \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x =\int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x$이고 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x$이다.

$a > 0$일때 일반성을 잃지 않고 $f|_{[-a,0]}\in $ $\mathcal{R}^*[-a,0]$에 대해서만 증명한다.

$f|_{[-a,0]}\in \mathcal{R}^*[-a,0]$이면 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_\epsilon$-미세인 모든 $[-a,0]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가

$\displaystyle \left |S(f|_{[-a,0]}; \dot{\mathcal{P}}) - \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x \right | < \epsilon$이 되는 $[-a,0]$에서 게이지 $\delta_\epsilon : [-a,0]\to (0,\infty)$이 존재하여

모든 $t\in [0,a]$에 대해 $\eta_\epsilon(t) = \delta_\epsilon(-t)$인 함수 $\eta_\epsilon : [0,a]\to (0,\infty)$은 $[0,a]$에서 게이지이고

$\eta_\epsilon$-미세인 모든 $[0,a]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_+ = \{ ([x_{i-1},x_i], t_i) \}_{i =1}^n$는

$0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = a$이므로 $-a = -x_n < -x_{n-1} < \cdots < -x_1 < -x_0 = 0$이고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

$1\le i\le n$이므로 $-n \le - i \le -1$이 되어 $1 = n-n +1 \le n-i +1\le n-1+1 = n$이고

$t_{n-i+1} \in [x_{n-i}, x_{n - i+1}] \subseteq [t_{n-i+1} - \eta_\epsilon(t_{n-i+1}), t_{n-i+1} + \eta_\epsilon(t_{n-i+1})]$이므로

$t_{n-i+1} -\eta_\epsilon(t_{n-i+1}) \le x_{n-i}\le t_{n-i+1} \le x_{n-i+1} \le t_{n-i+1} + \eta_\epsilon(t_{n-i+1})$이 되어

$-t_{n-i+1} - \delta_\epsilon(-t_{n-i+1}) =-t_{n-i+1} - \eta_\epsilon(t_{n-i+1}) \le - x_{n - i + 1}\le -t_{n-i+1} \le -x_{n-i}\le -t_{n-i+1} + \eta_\epsilon(t_{n-i+1}) = -t_{n-i+1} + \delta_\epsilon(-t_{n-i+1})\text{ 이고}$

$-t_{n-i +1}\in [-x_{n-i+1},-x_{n-i}] \subseteq [-t_{n-i+1} - \delta_\epsilon(-t_{n-i+1}),-t_{n-i+1} +\delta_\epsilon(-t_{n-i+1})]$임에 따라

$\dot{\mathcal{P}}_- = \{ ([-x_{n -i+1},-x_{n-i}], -t_{n-i+1}) \}_{i =1}^n$는 $\delta_\epsilon$-미세인 $[-a,0]$의 첨점분할이다.

$f$가 짝함수이면

$\begin{align*}S(f|_{[0,a]};\dot{\mathcal{P}}_+) & = \sum_{i=1}^n f|_{[0,a]}(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em]& = \sum_{i=1}^n f|_{[-a,0]}(-t_i)\cdot (-x_{i-1} + x_i) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^n f|_{[-a,0]}(-t_{n-i+1})\cdot (-x_{n-i} + x_{n-i+1}) \\[0.5em] & = S(f|_{[-a,0]};\dot{\mathcal{P}}_-) \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$\displaystyle\left | S(f|_{[0,a]}; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{-a}^0 f(x)\operatorname{d}\!x \right | = \left |S(f|_{[-a,0]}; \dot{\mathcal{P}}_-) - \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x \right | < \epsilon$이므로

$f|_{[0,a]} \in \mathcal{R}^*[0,a]$이고 $\displaystyle \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x =\int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x$가 되어 가법 정리로 $f|_{[-a,a]}\in \mathcal{R}^*[-a,a]$이고

$\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-a}^{0} f(x) \operatorname{d}\!x+ \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x$이므로 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x $이다.

$f$가 홀함수이면

$\begin{align*}S(f|_{[0,a]};\dot{\mathcal{P}}_+) & = \sum_{i=1}^n f|_{[0,a]}(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em]& = \sum_{i=1}^n -f|_{[-a,0]}(-t_i)\cdot (-x_{i-1} + x_i) \\[0.5em] & = -\sum_{i=1}^n f|_{[-a,0]}(-t_{n-i+1})\cdot (-x_{n-i} + x_{n-i+1}) \\[0.5em] & = -S(f|_{[-a,0]};\dot{\mathcal{P}}_-) \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$\displaystyle\left | S(f|_{[0,a]}; \dot{\mathcal{P}}_+) + \int_{-a}^0 f(x)\operatorname{d}\!x \right | = \left | -S(f|_{[0,a]};\dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{-a}^0 f(x)\operatorname{d}\!x \right | = \left |S(f|_{[-a,0]}; \dot{\mathcal{P}}_-) - \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x \right | < \epsilon$이므로

$f|_{[0,a]} \in \mathcal{R}^*[0,a]$이고 $\displaystyle \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x = -\int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x$가 되어

가법 정리로 $f|_{[-a,a]}\in \mathcal{R}^*[-a,a]$이고 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-a}^{0} f(x) \operatorname{d}\!x+ \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 0$이다.

3, 4

일반성을 잃지 않고 $\widehat{f}|_{[0,\infty]}\in $ $\mathcal{R}^*[0,\infty]$에 대해서만 증명한다.

$\widehat{f}|_{[0,\infty]}\in \mathcal{R}^*[0,\infty]$이면 적분의 정의와 헤이크 정리로

모든 $\beta\in [0,\infty)$에 대해 $\widehat{f}|_{[0,\beta]}\in \mathcal{R}^*[0,\beta]$이고 $\displaystyle \lim_{\beta\to \infty}\int_0^\beta\widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x\in \mathbb{R}$가 존재하여

$\displaystyle \int_0^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x = \lim_{\beta\to \infty} \int_0^\beta \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x$이고 1, 2번으로 모든 $\alpha\in (-\infty,0]$에 대해 $\widehat{f}|_{[\alpha,0]}\in \mathcal{R}^*[\alpha,0]$이다.

극한의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$\beta > K(\epsilon)$인 모든 $\beta \in (0,\infty)$가 $\displaystyle \left | \int_0^\beta \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x - \int_0^\infty\widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \right | < \epsilon$인 $K(\epsilon)\in (0,\infty)$이 존재하여

$f$가 짝함수이면 $\alpha < -K(\epsilon)$인 모든 $\alpha\in (-\infty,0)$는 $-\alpha > K(\epsilon) > 0$이므로 1번으로

$\displaystyle \left | \int_\alpha^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x - \int_0^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \right | = \left | \int_0^{-\alpha} \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x - \int_0^\infty\widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \right | < \epsilon$이고

$\displaystyle \lim_{\alpha\to -\infty} \int_\alpha^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x = \int_0^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x$가 되어 헤이크 정리로 $\widehat{f}|_{[-\infty,0]}\in \mathcal{R}^*[-\infty,0]$이고

$\displaystyle \int_{-\infty}^0 \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x =\int_0^\infty f(x) \operatorname{d}\!x$임에 따라 가법 정리로 $\widehat{f} \in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이고

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^{0} \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x+ \int_{0}^\infty \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x$이므로 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{0}^\infty \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-\infty}^0 \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x $이다.

$f$가 홀함수이면 $\alpha < -K(\epsilon)$인 모든 $\alpha\in (-\infty,0)$는 $-\alpha > K(\epsilon) > 0$이므로 2번으로

$\displaystyle \left | \int_\alpha^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x + \int_0^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \right | = \left | -\int_0^{-\alpha} \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x + \int_0^\infty\widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \right | = \left | \int_0^{-\alpha}\widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x - \int_0^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \right | < \epsilon$이고

$\displaystyle \lim_{\alpha\to -\infty} \int_\alpha^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x = - \int_0^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x$가 되어 헤이크 정리로 $\widehat{f}|_{[-\infty,0]}\in \mathcal{R}^*[-\infty,0]$이고

$\displaystyle \int_{-\infty}^0 \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x = -\int_0^\infty f(x) \operatorname{d}\!x$임에 따라 $\displaystyle \int_0^\infty \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x = -\int_{-\infty}^0 f(x) \operatorname{d}\!x$이므로

가법 정리로 $\widehat{f} \in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이고 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^{0} \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x+ \int_{0}^\infty \widehat{f}(x) \operatorname{d}\!x = 0$이다.

거듭제곱 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty} t = \infty$이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty} (-t) = -\infty$가 되어

가법 정리와 헤이크 정리와 위 정리와 극한 정리와 가법 정리로

$\begin{align*} \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x & = \int_{-\infty}^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x + \int_0^\infty \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \lim_{\alpha\to -\infty} \int_{\alpha}^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x + \lim_{\beta\to \infty} \int_0^\beta \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \int_{-t}^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x + \lim_{t\to \infty} \int_0^t \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \left ( \int_{-t}^0 \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x + \int_0^t \widehat{f}(x)\operatorname{d}\!x \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \left ( \int_{-t}^0 f(x)\operatorname{d}\!x + \int_0^t f(x)\operatorname{d}\!x \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \int_{-t}^t f(x)\operatorname{d}\!x\text{ 이다.} \end{align*}$

정리12

임의의 $A,B\subseteq \mathbb{R}$에 대해 함수 $f: A\to \mathbb{R}$와 함수 $\varphi : B\to \mathbb{R}$가 $\varphi(B)\subseteq A$일때

확장된 실수집합 $\overline{\mathbb{R}} = [-\infty,\infty]$와 확장된 실수연산에 대해 다음이 성립한다.

1. $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (a,\infty)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때 $b\in \mathbb{R}$가 $B\cap (b,\infty)$의 집적점이고

모든 $x\in B\cap (b,\infty)$에 대해 $a < \varphi(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to b+}\varphi(x) = a$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

2. $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (-\infty,a)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to a-} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때 $b\in \mathbb{R}$가 $B\cap (b,\infty)$의 집적점이고

모든 $x\in B\cap (b,\infty)$에 대해 $\varphi(x) < a$이고 $\displaystyle \lim_{x\to b+}\varphi(x) = a$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to a-}f(x)$이다.

3. $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (a,\infty)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때 $b\in \mathbb{R}$가 $B\cap (-\infty,b)$의 집적점이고

모든 $x\in B\cap (-\infty,b)$에 대해 $a < \varphi(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to b-}\varphi(x) = a$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

4. $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (-\infty,a)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to a-} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때 $b\in \mathbb{R}$가 $B\cap (-\infty,b)$의 집적점이고

모든 $x\in B\cap (-\infty,b)$에 대해 $\varphi(x) < a$이고 $\displaystyle \lim_{x\to b-}\varphi(x) = a$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to a-}f(x)$이다.

5. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$이 짝수이면

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $f_n(x) = x^n$인 함수 $f_n: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$은 짝함수이고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^n = \infty = \lim_{x\to \infty}x^n$이다.

6. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$이 홀수이면

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $f_n(x) = x^n$인 함수 $f_n: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$은 홀함수이고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^n = -\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^n = \infty$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 1, 5, 6번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = L \in (-\infty,\infty)$일때 극한의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$0 < y - a < \delta(\epsilon)$인 모든 $y \in A$가 $|f(y) - L| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) \in (0,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$0 < x - b < \eta(\delta(\epsilon))$인 모든 $x\in B$가 $|\varphi(x) - a| < \delta(\epsilon)$이 되는 $\eta(\delta(\epsilon))\in (0,\infty)$이 존재하므로

$b < x$임에 따라 $x\in B\cap (b,\infty)$이고 $a < \varphi(x)$가 되어 $0 < \varphi(x) - a = |\varphi(x) - a| < \delta(\epsilon)$이므로

$\varphi(x)\in \varphi(B)\subseteq A$임에 따라 $|f(\varphi(x)) - L| < \epsilon$이고 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = L = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = -\infty$일때 극한의 정의로 모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해

$0 < y - a < \delta(\beta)$인 모든 $y \in A$가 $f(y) < \beta$가 되는 $\delta(\beta)\in (0,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$0 < x - b < \eta(\delta(\beta))$인 모든 $x\in B$가 $|\varphi(x) - a| < \delta(\beta)$가 되는 $\eta(\delta(\beta))\in (0,\infty)$가 존재하므로

$b < x$임에 따라 $x\in B\cap (b,\infty)$이고 $a < \varphi(x)$가 되어 $0 < \varphi(x) - a = |\varphi(x) - a| < \delta(\beta)$이므로

$\varphi(x)\in \varphi(B)\subseteq A$임에 따라 $f(\varphi(x)) < \beta$이고 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = -\infty = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = \infty$일때 극한의 정의로 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$0 < y - a < \delta(\alpha)$인 모든 $y \in A$가 $f(y) > \alpha$가 되는 $\delta(\alpha)\in (0,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$0 < x - b < \eta(\delta(\alpha))$인 모든 $x\in B$가 $|\varphi(x) - a| < \delta(\alpha)$가 되는 $\eta(\delta(\alpha))\in (0,\infty)$가 존재하므로

$b < x$임에 따라 $x\in B\cap (b,\infty)$이고 $a < \varphi(x)$가 되어 $0 < \varphi(x) - a = |\varphi(x) - a| < \delta(\alpha)$이므로

$\varphi(x)\in \varphi(B)\subseteq A$임에 따라 $f(\varphi(x)) > \alpha$이고 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = \infty = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

짝수의 정의로 $n = 2\cdot k$인 $k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해

$f_n(x) = x^n = x^{2\cdot k} = (x^2)^k = ((-x)^2)^k = (-x)^{2\cdot k} = (-x)^n = f_n(-x)$이므로 $f_n$은 짝함수이다.

다항함수 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^n = \infty$이므로 극한의 정의로 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$x > K(\alpha)$인 모든 $x\in \mathbb{R}$가 $f_n(x) > \alpha$가 되는 $K(\alpha)\in (0,\infty)$가 존재하여 $- K(\alpha)\in (0,\infty)$에 대해

$x < -K(\alpha)$인 모든 $x\in \mathbb{R}$는 $-x > K(\alpha)$이고 $f_n(x) =f_n(-x) > \alpha$임에 따라 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}x^n = \infty$이다.

홀수의 정의로 $n = 2\cdot k + 1$인 $k\in \mathbb{N}$가 존재하여 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해

$-f_n(x) = -x^n = -x^{2\cdot k +1} = -x\cdot (x^2)^k = (-x)\cdot ((-x)^2)^k = (-x)^{2\cdot k+1} = (-x)^n = f_n(-x)$이므로

$f_n$은 홀함수이다.

다항함수 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}x^n = \infty$이므로 극한의 정의로 모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해

$x > K(-\beta)$인 모든 $x\in \mathbb{R}$가 $f_n(x) > -\beta$가 되는 $K(-\beta)\in (0,\infty)$가 존재하여 $- K(-\beta)\in (0,\infty)$에 대해

$x < -K(-\beta)$인 모든 $x\in \mathbb{R}$는 $-x > K(-\beta)$이고 $-f_n(x) = f_n(-x) > -\beta$임에 따라 $f_n(x) < \beta$이므로

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}x^n = -\infty$이다.

정리13

오일러수 $e\in \mathbb{R}$와 임의의 $\alpha\in (0,\infty)$에 대해

함수 $f_\alpha:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $f_\alpha(x) = e^{-\alpha\cdot x^2}$일때 다음이 성립한다.

1. $f_\alpha$는 짝함수이다.

2. $f_\alpha$는 $(-\infty,0]$에서 순증가하고 $[0,\infty)$에서 순감소한다.

3. $f_\alpha(0) = 1$이고 모든 $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$에 대해 $0 < f_\alpha(x) < 1$이다.

4. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}$$\,e^{-\alpha\cdot x^2} = 0 = $ $\displaystyle \lim_{x\to \infty}$$\,e^{-\alpha\cdot x^2}$

5. $a\le b$인 모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $f_\alpha$의 축소함수 $f_\alpha|_{[a,b]}: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하다.

6. 무한닫힌구간 $[-\infty,\infty]$에서 $f_\alpha$의 영확장함수 $\widehat{f_\alpha} : [-\infty,\infty]\to \mathbb{R}$는 $[-\infty,\infty]$에서 일반리만적분가능하고

$\displaystyle \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} = \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f_\alpha}(x)\operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-\infty}^0 \widehat{f_\alpha}(x)\operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_0^\infty \widehat{f_\alpha}(x)\operatorname{d}\!x $이다.

7. 감마함수 $\Gamma : (0,\infty)\to \mathbb{R}$와 파이 $\pi\in \mathbb{R}$에 대해 $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$이다.

증명

실지수함수가 $\exp : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$일때 지수함수 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $\exp(x) = e^x$이다.

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $f_\alpha(x) = e^{-\alpha\cdot x^2} = e^{-\alpha\cdot (-x)^2} = f_\alpha(-x)$이므로 $f_\alpha$는 짝함수이다.

$x < y$인 모든 $x,y\in \mathbb{R}$에 대해

$x < y \le 0$이면 $0\le y^2 < x^2$이므로 $-\alpha\cdot x^2 < - \alpha\cdot y^2 \le 0$이 되어

지수함수 정리로 $f_\alpha(x) = e^{-\alpha\cdot x^2} < e^{-\alpha\cdot y^2} = f_\alpha(y)$임에 따라 $f_\alpha$는 $(-\infty,0]$에서 순증가하고

$0\le x < y$이면 $0\le x^2 < y^2$이므로 $-\alpha\cdot y^2 < -\alpha\cdot x^2\le 0$이 되어

지수함수 정리로 $f_\alpha(y) = e^{-\alpha\cdot y^2} < e^{-\alpha\cdot x^2} = f_\alpha(x)$임에 따라 $f_\alpha$는 $[0,\infty)$에서 순감소한다.

$f_\alpha(0) = e^{-\alpha \cdot 0^2} = e^0 = 1$이고

모든 $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$에 대해 $0 < x^2$이므로 $0 < \alpha\cdot x^2$가 되어 지수함수 정리로 $1 < 1 +\alpha\cdot x^2 < e^{\alpha\cdot x^2}$임에 따라

$0 < e^{-\alpha\cdot x^2} = \dfrac{1}{e^{\alpha\cdot x^2}} < 1$이고 $0 < f_\alpha(x) < 1$이다.

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} e^{- \alpha\cdot x} = 0$이고 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x^2 = \infty = \lim_{x\to \infty} x^2$이므로

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{- \alpha\cdot x^2} = 0 = \lim_{x\to \infty} e^{-\alpha\cdot x^2}$이다.

거듭제곱 정리와 지수함수 정리와 미분 정리와 연쇄법칙과 미분 연속성과 연속함수 정리로

$f_\alpha|_{[a,b]}$는 $[a,b]$에서 연속이므로 리만적분 정리로 $f_\alpha|_{[a,b]}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하다.

모든 $x\in (1,\infty)$에 대해 거듭제곱 정리로 $1 < x < x^2$이므로 $-\alpha\cdot x^2 < -\alpha\cdot x$임에 따라

지수함수 정리로 $0 < e^{-\alpha\cdot x^2} < e^{-\alpha\cdot x}$가 되어 위 정리와 적분 정리와 위 정리로 $\widehat{f_\alpha}|_{[1,\infty]}\in \mathcal{R}^*[1,\infty]$이고

일관성 정리와 5번으로 $\widehat{f_\alpha}|_{[0,1]}\in \mathcal{R}^*[0,1]$이므로 가법 정리로 $\widehat{f_\alpha}|_{[0,\infty]}\in \mathcal{R}^*[0,\infty]$가 되어

1번과 위 정리와 3번과 위 정리로

$\widehat{f_\alpha}\in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이고 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f_\alpha}(x)\operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-\infty}^0 \widehat{f_\alpha}(x)\operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_0^\infty \widehat{f_\alpha}(x)\operatorname{d}\!x \ge 0$이다.

$1,2$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1),(\mathbb{R}^2,d_2)$일때

거리공간 정리와 거리함수 정리와 미분 연속성과 연속함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $(x,y)\in \mathbb{R}^2$에 대해

$\phi_\alpha(x,y) = -\alpha\cdot (x^2 + y^2) = -\alpha\cdot ((x-0)^2 + (y-0)^2) = -\alpha\cdot (d_2((x,y),(0,0)))^2$인

함수 $\phi_\alpha :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$는 $(\mathbb{R}^2,d_2)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

지수함수 정리와 미분 연속성으로 $\exp $가 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수임에 따라

합성 정리로 $\exp \circ\, \phi_\alpha$는 $(\mathbb{R}^2,d_2)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

임의의 $t\in (0,\infty)$에 대해

상자 정리와 조르당영역 정리로 $D[t] = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : \sqrt{x^2+y^2} < t\}$는 $2$차원 조르당영역이고

닫힌공의 정의와 거리공간 정리로 $D[t] = \underset{(\mathbb{R}^2,d_2)}{B}[(0,0),t]$는 $(\mathbb{R}^2,d_2)$에서 닫힌집합이므로

리만적분 정리로 $\exp \circ\, \phi_\alpha$는 $D[t]$에서 리만적분가능하여

모든 $(x,y)\in \mathbb{R}^2$에 대해 $(\exp \circ\, \phi_\alpha)(x,y) = \exp(\phi_\alpha(x,y)) = \exp(-\alpha\cdot (x^2 + y^2)) = e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)}$이고

피타고타스 정리로

임의의 $(r,\theta)\in \mathbb{R}^2$에 대해 $e^{-\alpha\cdot ((r\cdot \cos\theta)^2 + (r\cdot \sin\theta)^2)} = e^{-\alpha\cdot r^2 \cdot ((\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2)} = e^{-\alpha\cdot r^2 \cdot 1} = e^{-\alpha\cdot r^2}$임에 따라

극좌표 변환과 푸비니 정리와 리만적분 정리로

$\begin{align*} \int_{D[t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}(x,y) & = \int_{[0,t]\times [0,2\cdot \pi]} e^{-\alpha\cdot r^2}\cdot r \operatorname{d}(r,\theta) \\[0.5em] & = \int_0^t \int_0^{2\cdot \pi} e^{-\alpha\cdot r^2}\cdot r \operatorname{d}\!\theta\operatorname{d}\! r \\[0.5em] & = \int_0^t e^{-\alpha\cdot r^2}\cdot r \cdot (2\cdot \pi -0 )\operatorname{d}\! r \\[0.5em] & = 2\cdot \pi \cdot \int_0^t e^{-\alpha\cdot r^2}\cdot r \operatorname{d}\! r \text{ 이고} \end{align*}$

미분 정리로 $\varphi(r) = r^2$인 함수 $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여 $\varphi'(r) = 2\cdot r$이므로

지수함수 정리와 미분 연속성과 연속함수 정리와 합성 정리와 리만적분 정리와 치환 정리와 리만적분 정리로

$\displaystyle 2\cdot \int_0^t e^{-\alpha\cdot r^2}\cdot r\operatorname{d}\!r = \int_0^t e^{-\alpha\cdot r^2} \cdot (2\cdot r)\operatorname{d}\!r = \int_0^t e^{-\alpha\cdot \varphi(r)} \cdot \varphi'(r)\operatorname{d}\!r = \int_{\varphi(0)}^{\varphi(t)} e^{-\alpha\cdot z}\operatorname{d}\!z = \int_0^{t^2} e^{-\alpha\cdot z}\operatorname{d}\!z $이고

위 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty} t^2 = \infty$가 되어 위 정리와 위 정리와 극한 정리로

$\begin{align*} \lim_{t\to \infty}\int_{D[t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}(x,y) & = \lim_{t\to \infty} \left( 2\cdot \pi \cdot \int_0^t e^{-\alpha\cdot r^2}\cdot r \operatorname{d}\! r \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \left ( \dfrac{2\cdot \pi}{2}\cdot \int_0^{t^2} e^{-\alpha\cdot z}\operatorname{d}\!z \right ) \\[0.5em] & = \pi\cdot \lim_{t\to \infty} \int_0^t e^{-\alpha\cdot z}\operatorname{d}\!z \\[0.5em] & = \pi\cdot \dfrac{1}{\alpha} \\[0.5em] & = \dfrac{\pi}{\alpha} \text{ 이다.} \end{align*}$

임의의 $t\in (0,\infty)$에 대해 상자 정리로 $Q[t] = [-t,t]\times [-t,t]$는 $2$차원 조르당영역이고

상자 정리로 $D[t] \subseteq Q[t] \subseteq D[\sqrt{2}\cdot t]$이므로 지수함수 정리와 리만적분 정리로

$\displaystyle \int_{D[t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}(x,y)\le \int_{Q[t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)}\operatorname{d}(x,y) \le \int_{D[\sqrt{2}\cdot t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}(x,y)$가 되어 위 정리와 위 정리로

$\displaystyle \lim_{t\to \infty}(\sqrt{2}\cdot t) = \infty$이고 $\displaystyle \dfrac{\pi}{\alpha} = \lim_{t\to \infty} \int_{D[t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}(x,y) = \lim_{t\to \infty} \int_{D[\sqrt{2}\cdot t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}(x,y)$임에 따라

위 정리와 극한 정리와 일관성 정리와 리만적분 정리와 푸비니 정리로

$\begin{align*} \left (\int_{-\infty}^\infty \widehat{f_\alpha}(x) \operatorname{d}\!x \right)^2 & = \left (\int_{-\infty}^\infty \widehat{f_\alpha}(x) \operatorname{d}\!x \right)\cdot \left (\int_{-\infty}^\infty \widehat{f_\alpha}(y) \operatorname{d}\!y \right) \\[0.5em] & = \left ( \lim_{t\to \infty} \int_{-t}^t e^{-\alpha\cdot x^2}\operatorname{d}\!x \right ) \cdot \left( \lim_{t\to \infty} \int_{-t}^t e^{-\alpha\cdot y^2} \operatorname{d}\!y \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \left (\left (\int_{-t}^t e^{-\alpha\cdot x^2}\operatorname{d}\!x \right ) \cdot \left( \int_{-t}^t e^{-\alpha\cdot y^2} \operatorname{d}\!y \right ) \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \left (\int_{-t}^t e^{-\alpha\cdot x^2}\cdot \int_{-t}^t e^{-\alpha\cdot y^2} \operatorname{d}\!y\operatorname{d}\!x \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \left (\int_{-t}^t \int_{-t}^t e^{-\alpha\cdot x^2}\cdot e^{-\alpha\cdot y^2} \operatorname{d}\!y\operatorname{d}\!x \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \left (\int_{-t}^t \int_{-t}^t e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}\!y\operatorname{d}\!x \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \int_{[-t,t]\times [-t,t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}(x,y) \\[0.5em] & = \lim_{t\to \infty} \int_{Q[t]} e^{-\alpha\cdot (x^2+y^2)} \operatorname{d}(x,y) \\[0.5em] & = \dfrac{\pi}{\alpha} \text{ 이므로} \end{align*}$

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f_\alpha}(x)\operatorname{d}\!x = \left | \int_{-\infty}^\infty \widehat{f_\alpha}(x)\operatorname{d}\!x \right| = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} $이다.

거듭제곱 정리로 모든 $t\in (0,\infty)$에 대해

$\varphi(t) = t^\frac{1}{2}$인 함수 $\varphi : (0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(0,\infty)$에서 미분가능하여 $\varphi'(t) = \dfrac{1}{2}\cdot t^{-\frac{1}{2}}$이므로

지수함수 정리와 미분 연속성과 연속함수 정리와 합성 정리와 리만적분 정리와 치환 정리와 리만적분 정리로

$a < b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해

$\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot \int_a^b t^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-t} \operatorname{d}\!t = \int_a^b e^{-t}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot t^{-\frac{1}{2}}\operatorname{d}\!t = \int_a^b e^{- (\varphi(t))^2}\cdot \varphi'(t)\operatorname{d}\!t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} e^{-x^2}\operatorname{d}\!x = \int_{a^\frac{1}{2}}^{b^\frac{1}{2}}e^{-x^2}\operatorname{d}\!x $이고

거듭제곱 정리로 ${\displaystyle \lim_{a\to 0+}}a^\tfrac{1}{2} = 0$과 ${\displaystyle \lim_{b\to \infty}} b^\tfrac{1}{2} = \infty$가 성립하므로

위 정리와 위 정리와 위 정리와 극한 정리와 극한 정리와 일관성 정리와 6번과 적분 정리로

$\begin{align*} \Gamma(\tfrac{1}{2}) & = \lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+} \int_a^b t^{\tfrac{1}{2} -1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+} \int_a^b t^{-\tfrac{1}{2}}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+} \left( 2 \cdot \int_{a^\frac{1}{2}}^{b^\frac{1}{2}}e^{-x^2}\operatorname{d}\!x \right ) \\[0.5em] & = 2 \cdot \lim_{b\to \infty}\lim_{a\to 0+} \int_{a}^{b}e^{-x^2}\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = 2 \cdot \int_{0}^{\infty} \widehat{f_1}(x) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = 2 \cdot \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{\dfrac{\pi}{1}} \\[0.5em] & = \sqrt{\pi} \text{ 이다.} \end{align*}$

정의2

임의의 $x,y\in (0,\infty)$에 대해 함수 $f_{x,y} : (0,1)\to \mathbb{R}$가 모든 $t\in (0,1)$에 대해 $f_{x,y}(t) = t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}$일때

닫힌구간 $[0,1]$에서 $f_{x,y}$의 영확장함수 $\widehat{f_{x,y}} : [0,1]\to \mathbb{R}$의 일반리만적분가능에 대해

$\displaystyle B(x,y) = \int_0^1 \widehat{f_{x,y}}(t)\operatorname{d}\!t$인 함수 $B : (0,\infty)\times (0,\infty)\to \mathbb{R}$를 베타함수로 정의한다.

정리14

임의의 $\alpha\in (-1,\infty)$와 임의의 $\delta\in (0,\infty)$에 대해

함수 $f_\alpha : [0,\delta)\to \mathbb{R}$가 모든 $t\in [0,\delta)$에 대해 $f_\alpha(t) = (\delta-t)^\alpha$일때

닫힌구간 $[0,\delta]$에서 $f_\alpha$의 영확장함수 $\widehat{f_\alpha} : [0,\delta]\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in (0,\infty)$에 대해 $\displaystyle \lim_{t\to \delta-}$$(\delta- t)^x = 0$이다.

2. 모든 $b\in (0,\delta)$에 대해 $f_\alpha$의 축소함수 $f_\alpha|_{[0,b]} : [0,b]\to \mathbb{R}$는 $[0,b]$에서 리만적분가능하고

$\displaystyle \int_0^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_0^b (\delta-t)^\alpha\operatorname{d}\!t = \dfrac{\delta^{\alpha+1}}{\alpha +1} - \dfrac{(\delta-b)^{\alpha+1}}{\alpha +1 }$이다.

3. $\widehat{f_\alpha}$는 $[0,\delta]$에서 일반리만적분가능하고 $\displaystyle \int_0^\delta \widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \delta-} \int_0^b (\delta -t)^\alpha\operatorname{d}\!t = \dfrac{\delta^{\alpha+1}}{\alpha +1}$이다.

증명

거듭제곱 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to 0+} t^x = 0$이고 연속함수 정리와 극한 정리와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \delta-}(\delta-t) = 0$이므로

모든 $t\in (0,\delta)$에 대해 $0 < t < \delta$이고 $0 < \delta - t$임에 따라 위 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to \delta-}(\delta-t)^x = 0$이다.

$0 < b < \delta$이므로 $0 < \delta-b < \delta$이고 미분 정리와 미분 정리와 미분 정리로

모든 $t\in [0,b]$에 대해 $\varphi(t) = \delta- t$인 함수 $\varphi : [0,b]\to \mathbb{R}$는 $[0,b]$에서 미분가능하여 $\varphi'(t) = -1$이고

단조함수 정리와 연속함수 정리로 $\varphi([0,b]) = [\varphi(b) , \varphi(0)] = [\delta-b,\delta]\subseteq (0,\infty)$이므로

거듭제곱 정리와 미분 연속성과 치환 정리와 리만적분 정리와 리만적분의 정의와 위 정리로

$\begin{align*}-\int_0^b (\delta-t)^\alpha\operatorname{d}\!t &= \int_0^b (\delta-t)^\alpha\cdot (-1) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_0^b (\varphi(t))^\alpha\cdot \varphi'(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em]& = \int_{\varphi(0)}^{\varphi(b)} t^\alpha\operatorname{d}\!t \\[0.5em]& = \int_\delta^{\delta-b} t^\alpha\operatorname{d}\!t \\[0.5em]& = -\int_{\delta -b}^\delta t^\alpha\operatorname{d}\!t \\[0.5em]& = - \dfrac{\delta^{\alpha+1} - (\delta-b)^{\alpha+1}}{\alpha+1} \text{ 이 되어} \end{align*}$

$f_\alpha|_{[0,b]}$는 $[0,b]$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_0^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \int_0^b (\delta-t)^\alpha\operatorname{d}\!t = \dfrac{\delta^{\alpha +1}}{\alpha +1} - \dfrac{(\delta-b)^{\alpha+1}}{\alpha +1 }$이다.

$\alpha > -1$이므로 $\alpha +1 > 0$임에 따라 1, 2번과 극한 정리와 극한 정리로

$\displaystyle \lim_{b\to \delta-}\int_0^b (\delta-t)^\alpha\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \delta-}\left (\dfrac{\delta^{\alpha +1}}{\alpha +1} - \dfrac{(\delta-b)^{\alpha+1}}{\alpha +1}\right ) = \dfrac{\delta^{\alpha+1}}{\alpha +1} - \dfrac{1}{\alpha +1}\cdot \lim_{b\to \delta-}(\delta-b)^{\alpha +1} = \dfrac{\delta^{\alpha+1}}{\alpha +1} $이 되어

일관성 정리와 헤이크 정리로 $\widehat{f_\alpha}$는 $[0,1]$에서 일반리만적분가능하고

$\displaystyle \int_0^\delta\widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \delta-}\int_0^b\widehat{f_\alpha}(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \delta-}\int_0^b f_\alpha(t)\operatorname{d}\!t = \lim_{b\to \delta-} \int_0^b (\delta-t)^\alpha\operatorname{d}\!t = \dfrac{\delta^{\alpha+1}}{\alpha +1}$이다.

정리15

임의의 $A,B\subseteq \mathbb{R}$에 대해 함수 $f: A\to \mathbb{R}$와 함수 $\varphi : B\to \mathbb{R}$가 $\varphi(B)\subseteq A$일때

확장된 실수집합 $\overline{\mathbb{R}} = [-\infty,\infty]$와 확장된 실수연산에 대해 다음이 성립한다.

1. $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (a,\infty)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때 $(b,\infty)\subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고

모든 $x\in (b,\infty)$에 대해 $a < \varphi(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\varphi(x) = a$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

2. $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (-\infty,a)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to a-} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때 $(b,\infty)\subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고

모든 $x\in (b,\infty)$에 대해 $\varphi(x) < a$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\varphi(x) = a$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to a-}f(x)$이다.

3. $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (a,\infty)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때 $(-\infty,b)\subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고

모든 $x\in (-\infty,b)$에 대해 $a < \varphi(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\varphi(x) = a$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

4. $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (-\infty,a)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to a-} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때 $(-\infty,b)\subseteq B$인 $b\in \mathbb{R}$가 존재하고

모든 $x\in (-\infty,b)$에 대해 $\varphi(x) < a$이고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\varphi(x) = a$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to a-}f(x)$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 1번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = L \in (-\infty,\infty)$일때 극한의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$0 < y - a < \delta(\epsilon)$인 모든 $y \in A$가 $|f(y) - L| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) \in (0,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$x > K(\delta(\epsilon))$인 모든 $x\in B$가 $|\varphi(x) - a| < \delta(\epsilon)$이 되는 $K(\delta(\epsilon))\in (b,\infty)$이 존재하므로

$b < K(\delta(\epsilon)) < x$임에 따라 $x\in (b,\infty)$이고 $a < \varphi(x)$가 되어 $0 < \varphi(x) - a = |\varphi(x) - a| < \delta(\epsilon)$이므로

$\varphi(x)\in \varphi(B)\subseteq A$임에 따라 $|f(\varphi(x)) - L| < \epsilon$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = L = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = -\infty$일때 극한의 정의로 모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해

$0 < y - a < \delta(\beta)$인 모든 $y \in A$가 $f(y) < \beta$가 되는 $\delta(\beta)\in (0,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$x > K(\delta(\beta))$인 모든 $x\in B$가 $|\varphi(x) - a| < \delta(\beta)$가 되는 $K(\delta(\beta))\in (b,\infty)$가 존재하므로

$b < K(\delta(\beta)) < x$임에 따라 $x\in (b,\infty)$이고 $a < \varphi(x)$가 되어 $0 < \varphi(x) - a = |\varphi(x) - a| < \delta(\beta)$이므로

$\varphi(x)\in \varphi(B)\subseteq A$임에 따라 $f(\varphi(x)) < \beta$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = -\infty = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = \infty$일때 극한의 정의로 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$0 < y - a < \delta(\alpha)$인 모든 $y \in A$가 $f(y) > \alpha$가 되는 $\delta(\alpha)\in (0,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$x > K(\delta(\alpha))$인 모든 $x\in B$가 $|\varphi(x) - a| < \delta(\alpha)$가 되는 $K(\delta(\alpha))\in (b,\infty)$가 존재하므로

$b < K(\delta(\alpha)) < x$임에 따라 $x\in (b,\infty)$이고 $a < \varphi(x)$가 되어 $0 < \varphi(x) - a = |\varphi(x) - a| < \delta(\alpha)$이므로

$\varphi(x)\in \varphi(B)\subseteq A$임에 따라 $f(\varphi(x)) > \alpha$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(\varphi(x)) = \infty = \lim_{x\to a+} f(x)$이다.

정리16

임의의 $A,B\subseteq \mathbb{R}$에 대해 함수 $f: A\to \mathbb{R}$와 함수 $\varphi : B\to \mathbb{R}$가 $\varphi(B)\subseteq A$일때

확장된 실수집합 $\overline{\mathbb{R}} = [-\infty,\infty]$와 확장된 실수연산에 대해 다음이 성립한다.

1. $(a,\infty)\subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때

$b\in \mathbb{R}$가 $B\cap (b,\infty)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to b+}\varphi(x) = \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

2. $(-\infty,a)\subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때

$b\in \mathbb{R}$가 $B\cap (b,\infty)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to b+}\varphi(x) = -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to -\infty}f(x)$이다.

3. $(a,\infty)\subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때

$b\in \mathbb{R}$가 $B\cap (-\infty,b)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to b-}\varphi(x) = \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

4. $(-\infty,a)\subseteq A$인 $a\in \mathbb{R}$가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) \in [-\infty,\infty]$일때

$b\in \mathbb{R}$가 $B\cap (-\infty,b)$의 집적점이고 $\displaystyle \lim_{x\to b-}\varphi(x) = -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-} f(\varphi(x)) = \lim_{x\to -\infty}f(x)$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 1번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = L \in (-\infty,\infty)$일때 극한의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$y > K(\epsilon)$인 모든 $y \in A$가 $|f(y) - L| < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in (a,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$0 < x - b < \delta(K(\epsilon))$인 모든 $x\in B$가 $\varphi(x) > K(\epsilon) > a$가 되는 $\delta(K(\epsilon))\in (0,\infty)$이 존재하므로

$\varphi(x)\in (a,\infty)\subseteq A$임에 따라 $|f(\varphi(x)) - L| < \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = L = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = -\infty$일때 극한의 정의로 모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해

$y > K(\beta)$인 모든 $y\in A$가 $f(y) < \beta$가 되는 $K(\beta)\in (a,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$0 < x - b < \delta(K(\beta))$인 모든 $x\in B$가 $\varphi(x) > K(\beta) > a$가 되는 $\delta(K(\beta))\in (0,\infty)$가 존재하므로

$\varphi(x)\in (a,\infty)\subseteq A$임에 따라 $f(\varphi(x)) < \beta$가 되어 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = -\infty = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = \infty$일때 극한의 정의로 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$y > K(\alpha)$인 모든 $y\in A$가 $f(y) > \alpha$가 되는 $K(\alpha)\in (a,\infty)$가 존재하여 극한의 정의로

$0 < x - b < \delta(K(\alpha))$인 모든 $x\in B$가 $\varphi(x) > K(\alpha) > a$가 되는 $\delta(K(\alpha))\in (0,\infty)$가 존재하므로

$\varphi(x)\in (a,\infty)\subseteq A$임에 따라 $f(\varphi(x)) > \alpha$가 되어 $\displaystyle \lim_{x\to b+} f(\varphi(x)) = \infty = \lim_{x\to \infty} f(x)$이다.

정리17

실삼각함수 $\cos,\sin:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$와 임의의 $x,y\in (0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $t\in (0,1)$에 대해 $f_{x,y}(t) = t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}$인

함수 $f_{x,y} : (0,1)\to \mathbb{R}$는 $a\le b$인 모든 $a,b\in (0,1)$에 대해 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

영확장함수 $\widehat{f_{x,y}} : [0,1]\to \mathbb{R}$는 $[0,1]$에서 일반리만적분가능하다.

2. 모든 $t \in (0,\infty)$에 대해 $g_{x,y}(t) = \dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}$인

함수 $g_{x,y} : (0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

영확장함수 $\widehat{g_{x,y}} : [0,\infty]\to \mathbb{R}$는 $[0,\infty]$에서 일반리만적분가능하다.

3. 모든 $\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해 $h_{x,y}(\theta) = (\sin \theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\cos\theta)^{2\cdot y-1}$인

함수 $h_{x,y} : (0,\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}$는 $a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

영확장함수 $\widehat{h_{x,y}} : [0,\frac{\pi}{2}]\to \mathbb{R}$는 $[0,\frac{\pi}{2}]$에서 일반리만적분가능하다.

4. $\displaystyle \int_0^1 \widehat{f_{x,y}}(t)\operatorname{d}\!t = \int_0^\infty \widehat{g_{x,y}}(t)\operatorname{d}\!t = 2\cdot \int_0^\tfrac{\pi}{2} \widehat{h_{x,y}}(\theta)\operatorname{d}\!\theta$

증명

거듭제곱 정리로 모든 $\alpha\in \mathbb{R}$에 대해

모든 $t\in (0,\infty)$가 $\phi_\alpha(t) = t^\alpha$인 함수 $\phi_\alpha : (0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(0,\infty)$에서 미분가능하여

미분 연속성으로 $\phi_\alpha$는 $(0,\infty)$에서 연속이고 거듭제곱 정리로 $\phi_\alpha(t) = t^\alpha > 0$이다.

모든 $t\in (0,1)$에 대해 $0 < 1-t < 1$이고 $f_{x,y}(t) = t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1} = \phi_{x-1}(t)\cdot \phi_{y-1}(1-t)$이므로

연속함수 정리와 연속함수 정리와 합성 정리로 $f_{x,y}$는 $(0,1)$에서 연속이 되어 연속함수 정리와 리만적분 정리로

$a\le b$인 모든 $a,b\in (0,1)$에 대해 $f_{x,y}|_{[a,b]}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

영확장함수 정리와 일관성 정리로 $\widehat{f_{x,y}}|_{[a,b]} = f_{x,y}|_{[a,b]}$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하다.

$x,y\in (0,\infty)$이므로 $x-1,y-1\in (-1,\infty)$이 되어 모든 $t\in (0,1)$에 대해

$0 < t < \dfrac{1}{2}$이면

$\dfrac{1}{2} < 1 - t < 1$이고 $-1 < y-1$이므로 거듭제곱 정리로 $(1-t)^{y-1} < (1-t)^{-1} =\dfrac{1}{1-t} < 2$가 되어

$0 < t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1} < t^{x-1}\cdot 2$임에 따라 위 정리와 적분 정리와 위 정리로 $\widehat{f_{x,y}}|_{[0,\frac{1}{2}]}\in \mathcal{R}^*[0,\frac{1}{2}]$이고

$\dfrac{1}{2} < t < 1$이면

$-1 < x -1$이므로 거듭제곱 정리로 $t^{x-1} < t^{-1} = \dfrac{1}{t} < 2$가 되어 $0 < t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1} < 2\cdot (1-t)^{y-1}$임에 따라

위 정리와 적분 정리와 적분 정리와 위 정리로 $\widehat{f_{x,y}}|_{[\frac{1}{2},1]}\in \mathcal{R}^*[\frac{1}{2},1]$이고 가법 정리로 $\widehat{f_{x,y}}\in \mathcal{R}^*[0,1]$이다.

모든 $t \in (0,\infty)$에 대해 $0 < 1 +t$이고 $g_{x,y}(t) = \dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} = \dfrac{\phi_{x-1}(t)}{\phi_{x+y}(1+t)}$이므로

연속함수 정리와 연속함수 정리와 합성 정리로 $g_{x,y}$는 $(0,\infty)$에서 연속이 되어 연속함수 정리와 리만적분 정리로

$a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 $g_{x,y}|_{[a,b]}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

영확장함수 정리와 일관성 정리로 $\widehat{g_{x,y}}|_{[a,b]} = g_{x,y}|_{[a,b]}$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하다.

$x,y\in (0,\infty)$이므로 $-1 < x-1$과 $-(y+1) = -y -1 < -1$이 성립하고 $0 < x+ y$가 되어

모든 $t\in (0,\infty)$에 대해

$0 < t < 1$이면 $1 < 1 + t$이므로 거듭제곱 정리로 $1=1^{x+y} < (1+t)^{x+y}$이고

$0 < \dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} < t^{x-1}$임에 따라 위 정리와 위 정리로 $\widehat{g_{x,y}}|_{[0,1]}\in \mathcal{R}^*[0,1]$이고

$1 < t$이면 $t < 1+t$이므로 거듭제곱 정리로 $t^{x+y} < (1+t)^{x+y}$가 되어

$0 < \dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}} < \dfrac{t^{x-1}}{t^{x+y}} = t^{x-1 - x -y} = t^{-(y+1)}$임에 따라 위 정리와 위 정리로 $\widehat{g_{x,y}}|_{[1,\infty]}\in \mathcal{R}^*[1,\infty]$이고

가법 정리로 $\widehat{g_{x,y}}\in \mathcal{R}^*[0,\infty]$이다.

삼각함수 정리와 미분 연속성으로 $\cos,\sin$은 $\mathbb{R}$에서 연속이므로 삼각함수 정리로

모든 $\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해 $\sin\theta > 0$과 $\cos\theta = \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) > 0$이 성립하고

$h_{x,y}(\theta) = (\sin \theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\cos\theta)^{2\cdot y-1} = \phi_{2\cdot x-1}(\sin\theta)\cdot \phi_{2\cdot y -1}(\cos\theta)$임에 따라

연속함수 정리와 합성 정리로 $h_{x,y}$는 $(0,\frac{\pi}{2})$에서 연속이 되어

연속함수 정리와 리만적분 정리로 $a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해 $h_{x,y}|_{[a,b]}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

영확장함수 정리와 일관성 정리로 $\widehat{h_{x,y}}|_{[a,b]} = h_{x,y}|_{[a,b]}$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하다.

$x,y\in (0,\infty)$이므로 $2\cdot x-1,2\cdot y-1\in (-1,\infty)$이 되어 모든 $\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해

$0 < \theta < \dfrac{\pi}{4}$이면 조르당 부등식으로 $\dfrac{2}{\pi} < \dfrac{\sin\theta}{\theta} < 1$이고

삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4}) < \cos\theta < \cos (0)=1$이므로

$-1 < 2\cdot x-1$이고 $-1 < 2\cdot y -1$임에 따라 거듭제곱 정리로

$\left (\dfrac{\sin\theta}{\theta} \right )^{2\cdot x-1} < \left ( \dfrac{\sin\theta}{\theta}\right)^{-1} = \dfrac{\theta}{\sin\theta} < \dfrac{\pi}{2}$이고 $(\cos \theta)^{2\cdot y-1} < (\cos \theta)^{-1} =\dfrac{1}{\cos\theta} < \sqrt{2}$가 되어

$0 < (\sin\theta)^{2\cdot x -1}\cdot (\cos\theta)^{2\cdot y-1} = \left (\dfrac{\sin\theta}{\theta} \right )^{2\cdot x-1}\cdot \theta^{2\cdot x-1} \cdot (\cos\theta)^{2\cdot y-1} < \dfrac{\pi}{2}\cdot \theta^{2\cdot x-1}\cdot \sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{2}\cdot \pi}{2} \cdot \theta^{2\cdot x-1}$이므로

위 정리와 적분 정리와 위 정리로 $\widehat{h_{x,y}}|_{[0,\frac{\pi}{4}]}\in \mathcal{R}^*[0,\frac{\pi}{4}]$이고

$\dfrac{\pi}{4} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이면 조르당 부등식과 삼각함수 정리로 $\dfrac{2}{\pi} < \dfrac{\cos \theta}{\frac{\pi}{2} - \theta} < 1$과 $\sin\theta = \cos (\frac{\pi}{2} - \theta)$가 성립하고

삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \cos(\frac{\pi}{4}) < \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) < \cos (0)=1$이므로

$-1 < 2\cdot x-1$이고 $-1 < 2\cdot y -1$임에 따라 거듭제곱 정리로

$(\sin \theta)^{2\cdot x-1} < (\sin\theta)^{-1} =\dfrac{1}{\sin\theta} < \sqrt{2}$이고 $\left (\dfrac{\cos\theta}{\frac{\pi}{2} - \theta} \right )^{2\cdot y-1} < \left ( \dfrac{\cos\theta}{\frac{\pi}{2} - \theta}\right)^{-1} = \dfrac{\frac{\pi}{2} - \theta}{\cos\theta} < \dfrac{\pi}{2}$가 되어

$0 < (\sin\theta)^{2\cdot x -1}\cdot (\cos\theta)^{2\cdot y-1} = \left (\sin\theta \right )^{2\cdot x-1}\cdot \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)^{2\cdot y -1} \cdot \left (\dfrac{\cos\theta}{\frac{\pi}{2} - \theta}\right )^{2\cdot y-1} < \sqrt{2}\cdot \left (\dfrac{\pi}{2} - \theta\right )^{2\cdot y-1}\cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sqrt{2}\cdot \pi}{2} \cdot \left (\dfrac{\pi}{2} -\theta\right )^{2\cdot y-1}\text{ 이므로}$

위 정리와 적분 정리와 적분 정리와 위 정리로 $\widehat{h_{x,y}}|_{[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]}\in \mathcal{R}^*[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$이고 가법 정리로 $\widehat{h_{x,y}}\in \mathcal{R}^*[0,\frac{\pi}{2}]$이다.

함수 정리로 모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $\varphi(t) = \dfrac{t}{1+t}$인 함수 $\varphi :(-1,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(-1,\infty)$에서 미분가능하여

$\varphi'(t) = \dfrac{1}{(1+t)^2}$이므로 연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\varphi'$는 $(-1,\infty)$에서 연속이고

$f_{x,y}$가 $\varphi((0,\infty)) = (0,1)$에서 연속임에 따라 치환 정리로 $a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해

$\begin{align*} \int_a^b\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\operatorname{d}\!t & = \int_a^b\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x-1 + y-1 +2}} \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_a^b\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x-1}}\cdot \dfrac{1}{(1+t)^{y-1}}\cdot \dfrac{1}{(1+t)^2} \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_a^b\left (\dfrac{t}{1+t} \right )^{x-1} \cdot \left (\dfrac{1+t}{1+t} - \dfrac{t}{1+t} \right)^{y-1}\cdot \varphi'(t) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_a^b (\varphi(t))^{x-1} \cdot \left (1 - \varphi(t) \right)^{y-1}\cdot \varphi'(t) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_a^b f_{x,y}(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f_{x,y}(t)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_{\frac{a}{1+a}}^{\frac{b}{1+b}} t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}\operatorname{d}\!t \text{ 이다.} \end{align*}$

함수 정리와 미분 연속성과 연속함수 정리와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{a\to 0+} \dfrac{a}{1+a} = 0$과 $\displaystyle \lim_{b\to \infty}\dfrac{b}{1+b} = 1$이 성립하고

$a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 $0 < \varphi(a) =\dfrac{a}{1+a}\le \dfrac{b}{1+b} = \varphi(b) < 1$이므로

적분 정리와 위 정리와 위 정리와 적분 정리로

$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \widehat{g_{x,y}}(t)\operatorname{d}\!t & = \lim_{b\to \infty} \lim_{a\to 0+} \int_a^b\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{b\to \infty} \lim_{a\to 0+} \int_{\frac{a}{1+a}}^{\frac{b}{1+b}} t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{b\to 1-} \lim_{a\to 0+} \int_{a}^{b} t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_{0}^{1} \widehat{f_{x,y}}(t)\operatorname{d}\!t \text{ 이다.} \end{align*}$

삼각함수 정리와 미분 정리로 모든 $\theta\in \mathbb{R}$에 대해 $\psi(\theta) = (\sin\theta)^2$인 함수 $\psi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여

$\psi'(\theta) = 2\cdot \sin\theta \cdot \sin'(\theta) = 2\cdot \sin\theta\cdot \cos\theta$이므로 미분 연속성과 연속함수 정리로 $\psi'$는 $\mathbb{R}$에서 연속이고

모든 $\theta\in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해

삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $0 = \sin(0) < \sin \theta < \sin (\frac{\pi}{2}) = 1$이므로 $0 < (\sin \theta)^2 < 1$이 되어

$f_{x,y}$가 $\psi((0,\frac{\pi}{2})) \subseteq (0,1)$에서 연속임에 따라 리만적분 정리와 치환 정리로 $a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해

$\begin{align*} 2\cdot \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot x -1}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta & = 2\cdot \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot x -1}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = 2\cdot \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot x -2+1}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot y -2+1} \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = 2\cdot \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot (x -1)}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot (y -1)}\cdot \sin\theta\cdot \cos\theta \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_a^b ((\sin\theta)^2)^{x -1}\cdot ((\cos \theta)^2)^{y -1}\cdot 2\cdot \sin\theta\cdot \cos\theta \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_a^b ((\sin\theta)^2)^{x -1}\cdot (1-(\sin \theta)^2)^{y -1}\cdot (2\cdot \sin\theta\cdot \cos\theta) \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_a^b (\psi(\theta))^{x -1}\cdot (1- \psi(\theta))^{y -1}\cdot \psi'(\theta) \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_a^b f_{x,y}(\psi(\theta))\cdot \psi'(\theta) \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_{\psi(a)}^{\psi(b)} f_{x,y}(t) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_{(\sin a)^2}^{(\sin b)^2} t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1} \operatorname{d}\!t \text{ 이다.} \end{align*}$

미분 연속성과 연속함수 정리와 극한 정리와 극한 정리와 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로

$\displaystyle\lim_{a\to 0+} (\sin a)^2 = (\sin(0))^2 = 0$과 $\displaystyle\lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} (\sin b)^2 = (\sin(\tfrac{\pi}{2}))^2 = 1$이 성립하고

$a\le b$인 모든 $a,b\in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해 $0 < (\sin a)^2 \le (\sin b)^2 < 1$이므로 위 정리와 적분 정리와 극한 정리로

$\begin{align*} 2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \widehat{h_{x,y}}(\theta)\operatorname{d}\!\theta & = 2\cdot \left (\lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \lim_{a\to 0+} \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot x -1}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = \lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \lim_{a\to 0+} \left ( 2\cdot \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot x -1}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = \lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \lim_{a\to 0+} \int_{(\sin a)^2}^{(\sin b)^2} t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1} \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{b\to 1-} \lim_{a\to 0+} \int_{a}^{b} t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1} \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_{0}^{1} \widehat{f_{x,y}}(t)\operatorname{d}\!t \text{ 이다.} \end{align*}$

정리18

베타함수 $B : (0,\infty)\times (0,\infty)\to \mathbb{R}$와 감마함수 $\Gamma : (0,\infty)\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $x,y\in (0,\infty)$와 실삼각함수 $\cos,\sin:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$에 대해

$\begin{align*} B(x,y) & = \lim_{a\to 0+} \lim_{b\to 1-} \int_{a}^{b} t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}\operatorname{d}\!t= \lim_{b\to 1-} \lim_{a\to 0+} \int_{a}^{b} t^{x-1}\cdot (1-t)^{y-1}\operatorname{d}\!t \\[0.5em]& = \lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \infty}\int_a^b\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\operatorname{d}\!t= \lim_{b\to \infty} \lim_{a\to 0+} \int_a^b\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\operatorname{d}\!t \\[0.5em]& = 2\cdot \left (\lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot x -1}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right )= 2\cdot \left (\lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \lim_{a\to 0+} \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot x -1}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \text{ 이다.}\end{align*} $

2. 모든 $x,y\in (0,\infty)$에 대해 $B(x,y) = \dfrac{\Gamma(x)\cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} = B(y,x)$이다.

3. $k \ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle B(\tfrac{k-1}{2},\tfrac{1}{2}) = \int_0^\pi (\sin\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^\tfrac{\pi}{2} (\cos\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta = \sqrt{\pi}\cdot \dfrac{\Gamma(\tfrac{k-1}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})}$이다.

4. 모든 $n,k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B(n,k) = \dfrac{(n-1)!\cdot (k-1)!}{(n+k-1)!}$이다.

5. $n\ge k\ge 0$인 모든 $n,k\in $ $\mathbb{N}$에 대해 $\dfrac{1}{(n+1)\cdot B(n-k+1,k+1)} = $ $\dbinom{n}{k}$이다.

증명

베타함수의 정의와 위 정리와 적분 정리와 적분 정리로 성립한다.

거듭제곱 정리로 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 $\varphi(r) = r^2$인

함수 $\varphi : (0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(0,\infty)$에서 미분가능하여 $\varphi'(t) = 2\cdot r$이고

$a\le b$인 임의의 $a,b\in (0,\infty)$에 대해 $\varphi([a,b])\subseteq (0,\infty)$이므로 오일러수 $e\in \mathbb{R}$와 임의의 $z\in (0,\infty)$에 대해

거듭제곱 정리와 지수함수 정리와 미분 연속성과 연속함수 정리와 치환 정리와 적분 정리로

$\displaystyle 2\cdot \int_a^b r^{2\cdot z -1} \cdot e^{-r^2} \operatorname{d}\!r = \int_a^b r^{2\cdot z -2}\cdot r\cdot e^{-r^2}\cdot 2 \operatorname{d}\!r = \int_a^b (r^2)^{z-1}\cdot e^{-r^2}\cdot (2\cdot r) \operatorname{d}\!r =\int_{a^2}^{b^2} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t$이다.

$1,2$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1),(\mathbb{R}^2,d_2)$일때

거듭제곱 함수는 $((0,\infty),d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 지수함수는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

사영함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리와 합성 정리로

모든 $(u,v)\in (0,\infty)\times (0,\infty)$에 대해 $f_{x,y}(u,v) = u^{2\cdot x -1} \cdot v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-(u^2 + v^2)}$인

함수 $f_{x,y} : (0,\infty)\times (0,\infty)\to \mathbb{R}$는 $((0,\infty)\times (0,\infty),d_2)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

함수 $\Phi:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$가 모든 $r,\theta\in \mathbb{R}$에 대해 $\Phi(r,\theta) = (r\cdot\cos\theta,r\cdot\sin\theta)$일때 모든 $t\in (0,\frac{\pi}{4})$에 대해

파이의 정의로 $0 < t < \dfrac{\pi}{4} < 1$이므로 $0 < t < \dfrac{\pi}{4} < 1 < \dfrac{1}{t}$와 $0 < t < \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} - t$가 성립하여

극좌표 정리와 삼각함수 정리로 어떤 $r_1,r_2\in (0,\infty)$와 어떤 $\theta_1,\theta_2\in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해

$(\frac{1}{t},t) = (r_1\cdot \cos\theta_1,r_1\cdot\sin \theta_1)$이고 $(t,\frac{1}{t}) = (r_2\cdot \cos\theta_2,r_2\cdot\sin\theta_2)$이므로 피타고라스 항등식으로

$r_1^2 = (r_1\cdot\cos\theta_1)^2 + (r_1\cdot \sin\theta_2)^2 = (\frac{1}{t})^2 + t^2 = t^2+(\frac{1}{t})^2 = (r_2\cdot \cos\theta_2)^2 + (r_2\cdot \sin \theta_2)^2 = r_2^2$가 되어

$r_1 = r_2$이고 $r_1\cdot \sin\theta_1 = t < \dfrac{1}{t} = r_2\cdot \sin \theta_2$이므로 $\sin\theta_1< \sin \theta_2$임에 따라

삼각함수 정리로 $0 < \theta_1 < \theta_2 < \dfrac{\pi}{2}$이고 $s = \min \{ \sqrt{2}\cdot t, \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot t, \theta_1,\frac{\pi}{2} - \theta_2, \frac{\pi}{8}\} \in (0,\frac{\pi}{4})$일때

모든 $(u,v)\in [t,\frac{1}{t}]\times [t,\frac{1}{t}]$에 대해 $(u,v) = (r\cdot \cos\theta,r\cdot \sin\theta)$인 $r\in (0,\infty)$과 $\theta\in (0,\frac{\pi}{2})$가 존재하여

$s\le \sqrt{2}\cdot t$이고 $s\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot t$임에 따라 $s\le \sqrt{2}\cdot t = \sqrt{t^2+t^2} \le \sqrt{u^2+v^2} \le \sqrt{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t^2}} = \sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{t}\le \dfrac{1}{s}$이므로

피타고라스 항등식으로 $r = \sqrt{r^2} = \sqrt{(r\cdot \cos\theta)^2 + (r\cdot \sin\theta)^2} = \sqrt{u^2+v^2}\in [s,\frac{1}{s}]$이고

$t\le v\le \dfrac{1}{t}$와 $t\le \dfrac{1}{u} \le \dfrac{1}{t}$가 성립하여 삼각함수 정리로 $\sin\theta ,\cos\theta\in (0,1)$임에 따라

탄젠트함수 $\tan : \{ \theta \in \mathbb{R} : \cos\theta\ne 0 \}\to \mathbb{R}$에 대해

$\tan\theta_1 =\dfrac{r_1\cdot \sin\theta_1}{r_1\cdot\cos\theta_1} = \dfrac{t}{\frac{1}{t}} = t^2\le \dfrac{v}{u} \le \dfrac{1}{t^2} = \dfrac{\frac{1}{t}}{t} = \dfrac{r_2\cdot \sin\theta_2}{r_2\cdot \cos\theta_2} = \tan\theta_2$이므로 $\tan \theta_1 \le \tan \theta \le \tan \theta_2$이고

$s\le \dfrac{\pi}{2} - \theta_2$임에 따라 탄젠트 정리로 $s\le \theta_1\le \theta\le \theta_2 \le \dfrac{\pi}{2} - s$가 되어 $\theta\in [s,\frac{\pi}{2} - s]$이므로

$(u,v) = \Phi(r,\theta)\in \Phi([s,\frac{1}{s}]\times [s,\frac{\pi}{2} - s])$이고 $[t,\frac{1}{t}]\times [t,\frac{1}{t}] \subseteq \Phi([s,\frac{1}{s}]\times [s,\frac{\pi}{2} - s])$이다.

임의의 $t\in (0,\frac{\pi}{4})$에 대해 $s = \min \{ t\cdot \cos(\frac{\pi}{2} - t), t\cdot \sin(t), t\cdot \frac{1}{\cos(t)},t\cdot \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{2} - t)},\frac{\pi}{8}\} \in (0,\frac{\pi}{4})$일때

모든 $(u,v) \in \Phi([t,\frac{1}{t}]\times [t,\frac{\pi}{2} - t])$는

$(u,v) = \Phi(r,\theta) = (r\cdot \cos\theta,r\cdot \sin\theta)$인 $r\in [t,\frac{1}{t}]\subseteq (0,\infty)$과 $\theta\in [t,\frac{\pi}{2}-t]\subseteq (0,\frac{\pi}{2})$가 존재하여

삼각함수 정리로 $\cos(\frac{\pi}{2}-t)\le \cos\theta\le \cos(t)$와 $\sin(t)\le \sin\theta \le \sin(\frac{\pi}{2} - t)$가 성립하므로

$s\le t\cdot \dfrac{1}{\cos(t)}$임에 따라 $s\le t\cdot \cos(\frac{\pi}{2}-t)\le r\cdot \cos\theta\le \dfrac{1}{t}\cdot \cos(t)\le \dfrac{1}{s}$이고

$s\le t\cdot \dfrac{1}{\sin(\frac{\pi}{2}-t)}$이므로 $s\le t\cdot \sin(t)\le r\cdot \sin\theta\le \dfrac{1}{t}\cdot \sin(\frac{\pi}{2} - t)\le \dfrac{1}{s}$가 되어

$(u,v) = (r\cdot \cos\theta,r\cdot\sin\theta)\in [s,\frac{1}{s}]\times [s,\frac{1}{s}]$이고 $\Phi([t,\frac{1}{t}]\times [t,\frac{\pi}{2} - t])\subseteq [s,\frac{1}{s}]\times [s,\frac{1}{s}]$이다.

$a < b$이고 $c < d$인 임의의 $a,b\in (0,\infty)$와 임의의 $c,d\in (0,\frac{\pi}{2})$에 대해

상자 정리와 상자 정리로 $[a,b]\times [c,d]$는 $(\mathbb{R}^2,d_2)$에서 닫힌집합인 $2$차원 조르당영역이고

$\delta = \min \{ a,\frac{1}{b},c,\frac{\pi}{2} - d,\frac{\pi}{8}\}\in (0,\frac{\pi}{4})$에 대해 $[a,b]\times [c,d]\subseteq [\delta,\frac{1}{\delta}]\times [\delta,\frac{\pi}{2}-\delta]$이므로

$\Phi([a,b]\times [c,d]) \subseteq \Phi([\delta,\frac{1}{\delta}]\times [\delta,\frac{\pi}{2}-\delta])\subseteq [\epsilon,\frac{1}{\epsilon}]\times [\epsilon,\frac{1}{\epsilon}]$인 $\epsilon\in (0,\frac{\pi}{4})$이 존재하고 극좌표 정리로

$\Phi([a,b]\times [c,d])$는 $2$차원 조르당영역이므로 적분 정리와 적분 정리와 푸비니 정리와 위 정리와 적분 정리로

$\begin{align*} 4\cdot \int_{\Phi([a,b]\times [c,d])} u^{2\cdot x-1}\cdot v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-(u^2+v^2)} \operatorname{d}(u,v) & = 4\cdot \int_{[a,b]\times [c,d]} (r\cdot \cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (r\cdot \sin\theta)^{2\cdot y -1}\cdot e^{-((r\cdot \cos\theta)^2+(r\cdot \sin\theta)^2)}\cdot r \operatorname{d}(r,\theta) \\[0.5em] & = 4\cdot \int_{[a,b]\times [c,d]} r^{2\cdot x-1 + 2\cdot y -1 +1}\cdot e^{-r^2\cdot ( (\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2) } \cdot (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}(r,\theta) \\[0.5em] & = 4\cdot \int_a^b \int_c^d r^{2\cdot (x+y) -1 }\cdot e^{-r^2} \cdot (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \operatorname{d}\!r \\[0.5em] & = 4\cdot \int_a^b r^{2\cdot (x+y) -1 }\cdot e^{-r^2} \cdot \int_c^d (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \operatorname{d}\!r \\[0.5em] & = 4 \cdot \left ( \int_c^d (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \cdot \left ( \int_a^b r^{2\cdot (x+y) -1 }\cdot e^{-r^2}\operatorname{d}\!r\right ) \\[0.5em] & = \left( 2\cdot \int_a^b r^{2\cdot (x+y) -1 }\cdot e^{-r^2} \operatorname{d}\!r \right ) \cdot \left (2\cdot \int_c^d (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right) \\[0.5em] & = \left( \int_{a^2}^{b^2} t^{x+y-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right ) \cdot \left (2\cdot \int_c^d (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right) \text{ 이고}\end{align*}$

$a < b$이고 $c < d$인 임의의 $a,b,c,d\in (0,\infty)$에 대해

$\begin{align*} 4\cdot \int_{[a,b]\times [c,d]} u^{2\cdot x-1}\cdot v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-(u^2+v^2)} \operatorname{d}(u,v) & = 4\cdot \int_c^d \int_a^b u^{2\cdot x-1}\cdot v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-u^2}\cdot e^{-v^2} \operatorname{d}\!u\operatorname{d}\!v \\[0.5em] & = 4\cdot \int_c^d v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-v^2} \cdot \int_a^b u^{2\cdot x-1}\cdot e^{-u^2} \operatorname{d}\!u\operatorname{d}\!v \\[0.5em] & = 4\cdot \left ( \int_a^b u^{2\cdot x-1}\cdot e^{-u^2} \operatorname{d}\!u\right)\cdot \left (\int_c^d v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-v^2} \operatorname{d}\!v\right ) \\[0.5em] & = \left ( 2\cdot \int_a^b u^{2\cdot x-1}\cdot e^{-u^2} \operatorname{d}\!u\right)\cdot \left (2\cdot\int_c^d v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-v^2} \operatorname{d}\!v\right ) \\[0.5em] & = \left ( \int_{a^2}^{b^2} t^{x-1}\cdot e^{-t} \operatorname{d}\!t\right)\cdot \left ( \int_{c^2}^{d^2} t^{y -1}\cdot e^{-t} \operatorname{d}\!t\right ) \text{ 이다.} \end{align*}$

거듭제곱 정리와 극한 정리로

$\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0+}\epsilon^2 = 0$과 $\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0+}\dfrac{1}{\epsilon^2} = \infty$가 성립하고 $\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0+}\epsilon = 0$과 $\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0+}(\tfrac{\pi}{2} -\epsilon) = \dfrac{\pi}{2}$가 성립하여

임의의 $z\in (0,\infty)$에 대해 가법 정리와 극한 정리와 극한 정리와 위 정리와 위 정리와 위 정리와 1번으로

$\begin{align*} \lim_{\epsilon\to 0+} \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t & = \lim_{\epsilon\to 0+} \left ( \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{\pi}{4}} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t + \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right ) \\[0.5em] & = \lim_{\epsilon\to 0+} \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{\pi}{4}} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t + \lim_{\epsilon\to 0+} \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{a\to 0+} \int_{a}^{\tfrac{\pi}{4}} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t + \lim_{b\to \infty} \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{b} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \infty} \left ( \int_{a}^{\tfrac{\pi}{4}} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t + \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{b} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right ) \\[0.5em] & = \lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \infty} \int_{a}^{b} t^{z-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \Gamma(z) \text{ 이고}\end{align*}$

$\begin{align*} & \lim_{\epsilon\to 0+} \left (2\cdot \int_{\epsilon}^{\tfrac{\pi}{2}-\epsilon} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) = \lim_{\epsilon\to 0+} \left (2\cdot \int_{\epsilon}^{\tfrac{\pi}{4}} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta + 2\cdot \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}-\epsilon} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = \lim_{\epsilon\to 0+} \left (2\cdot \int_{\epsilon}^{\tfrac{\pi}{4}} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) +\lim_{\epsilon\to 0+} \left (2\cdot \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}-\epsilon} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = \lim_{a\to 0+} \left (2\cdot \int_{a}^{\tfrac{\pi}{4}} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) +\lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \left (2\cdot \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{b} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = \lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \left (2\cdot \int_{a}^{\tfrac{\pi}{4}} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta +2\cdot \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{b} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = \lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \left (2\cdot \int_{a}^{b} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = 2\cdot \left ( \lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \int_{a}^{b} (\sin\theta)^{2\cdot y -1}\cdot(\cos\theta)^{2\cdot x-1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = B(y,x) \text{ 이므로} \end{align*}$

거듭제곱 정리와 적분 정리로 모든 $\epsilon \in (0,\frac{\pi}{4})$에 대해

$F(\epsilon) = \displaystyle 4\cdot \int_{[\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}]\times [\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}]} f_{x,y}(u,v)\operatorname{d}(u,v)$이고 $G(\epsilon) = \displaystyle 4\cdot \int_{\Phi([\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}]\times [\epsilon,\tfrac{\pi}{2}-\epsilon])} f_{x,y}(u,v)\operatorname{d}(u,v)$인

함수 $F,G : (0,\frac{\pi}{4})\to \mathbb{R}$가 $(0,\frac{\pi}{4})$에서 감소함에 따라 위 정리와 극한 정리로

$\begin{align*} \sup F((0,\tfrac{\pi}{4})) & = \lim_{\epsilon\to 0+} F(\epsilon) \\[0.5em] & = \lim_{\epsilon\to 0+} \left ( 4\cdot \int_{[\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}]\times [\epsilon,\tfrac{\pi}{2}-\epsilon]} f_{x,y}(u,v)\operatorname{d}(u,v)\right ) \\[0.5em] & = \lim_{\epsilon\to 0+} \left ( 4\cdot \int_{[\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}]\times [\epsilon,\tfrac{\pi}{2}-\epsilon]} u^{2\cdot x-1}\cdot v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-(u^2+v^2)} \operatorname{d}(u,v)\right ) \\[0.5em] & = \lim_{\epsilon\to 0+} \left ( \left ( \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{x-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right )\cdot \left ( \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{y-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right ) \right ) \\[0.5em] & = \left ( \lim_{\epsilon\to 0+} \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{x-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right )\cdot \left (\lim_{\epsilon\to 0+} \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{y-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right ) \\[0.5em] & = \Gamma(x)\cdot \Gamma(y) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} \sup G((0,\tfrac{\pi}{4})) & = \lim_{\epsilon\to 0+} G(\epsilon) \\[0.5em] & = \lim_{\epsilon\to 0+} \left ( 4\cdot \int_{\Phi([\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}]\times [\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}])} f_{x,y}(u,v)\operatorname{d}(u,v)\right ) \\[0.5em] & = \lim_{\epsilon\to 0+} \left ( 4\cdot \int_{\Phi([\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}]\times [\epsilon,\tfrac{1}{\epsilon}])} u^{2\cdot x-1}\cdot v^{2\cdot y -1}\cdot e^{-(u^2+v^2)} \operatorname{d}(u,v)\right ) \\[0.5em] & = \lim_{\epsilon\to 0+} \left ( \left ( \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{x+y-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right )\cdot \left ( 2\cdot \int_{\epsilon}^{\tfrac{\pi}{2}-\epsilon} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \right ) \\[0.5em] & = \left ( \lim_{\epsilon\to 0+} \int_{\epsilon^2}^{\tfrac{1}{\epsilon^2}} t^{x+y-1}\cdot e^{-t}\operatorname{d}\!t \right )\cdot \left (\lim_{\epsilon\to 0+} \left (2\cdot \int_{\epsilon}^{\tfrac{\pi}{2}-\epsilon} (\cos\theta)^{2\cdot x-1}\cdot (\sin\theta)^{2\cdot y -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \right ) \\[0.5em] & = \Gamma(x+y)\cdot B(y,x) \text{ 이다.} \end{align*}$

모든 $t \in (0,\frac{\pi}{4})$에 대해 $[t,\frac{1}{t}]\times [t,\frac{1}{t}] \subseteq \Phi([s,\frac{1}{s}]\times [s,\frac{\pi}{2} - s])$인 $s\in (0,\frac{\pi}{4})$가 존재하여

적분 정리와 상한의 정의로 $F(t)\le G(s) \le \sup G((0,\frac{\pi}{4}))$이므로 $\sup F((0,\frac{\pi}{4})) \le \sup G((0,\frac{\pi}{4}))$이고

모든 $t \in (0,\frac{\pi}{4})$에 대해 $\Phi([t,\frac{1}{t}]\times [t,\frac{\pi}{2} - t])\subseteq [s,\frac{1}{s}]\times [s,\frac{1}{s}]$인 $s\in (0,\frac{\pi}{4})$가 존재하여

적분 정리와 상한의 정의로 $G(t)\le F(s)\le \sup F((0,\frac{\pi}{4}))$이므로 $\sup G((0,\frac{\pi}{4})) \le \sup F((0,\frac{\pi}{4}))$임에 따라

$\Gamma(x)\cdot \Gamma(y) = \sup F((0,\frac{\pi}{4})) = \sup G((0,\frac{\pi}{4})) = \Gamma(x+y) \cdot B(y,x)$이고 위 정리로 $\Gamma(x+y) > 0$이므로

$B(x,y) = \dfrac{\Gamma(y)\cdot \Gamma(x)}{\Gamma(y+x)} = \dfrac{\Gamma(x)\cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} = B(y,x)$이다.

$k-2 \ge 0$이므로 삼각함수 정리와 거듭제곱 정리와 상수함수 정리와 미분 연속성과 합성 정리와 적분 정리로

$a\le b$인 모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \int_a^b (\sin\theta)^{k-2}\operatorname{d}\!\theta,\int_a^b(\cos\theta)^{k-2}\operatorname{d}\!\theta$가 존재하고

미분 정리로 모든 $\theta\in \mathbb{R}$에 대해 $f(\theta) = \pi - \theta$이고 $g(\theta) = \theta - \dfrac{\pi}{2}$인

함수 $f ,g : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여 $f'(\theta) = -1$이고 $g'(\theta) = 1$이므로 $f',g'$는 $\mathbb{R}$에서 연속이다.

삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 모든 $\theta\in \mathbb{R}$에 대해

$\sin\theta = -\sin(\theta - \pi) = \sin(\pi-\theta)$이고 $\sin\theta = \cos(\theta-\tfrac{\pi}{2})$이므로 치환 정리와 적분의 정의와 적분 정리로

$\displaystyle \int_\tfrac{\pi}{2}^\pi (\sin\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta = \int_\tfrac{\pi}{2}^\pi -(\sin(\pi-\theta))^{k-2}\cdot (-1)\operatorname{d}\!\theta = \int_{\pi-\tfrac{\pi}{2}}^{\pi - \pi} -(\sin\theta)^{k-2}\operatorname{d}\!\theta = -\int_\tfrac{\pi}{2}^0 (\sin\theta)^{k-2}\operatorname{d}\!\theta = \int_0^\tfrac{\pi}{2} (\sin\theta)^{k-2}\operatorname{d}\!\theta \text{ 이고}$

$\displaystyle \int_0^\pi (\sin\theta)^{k-2}\operatorname{d}\!\theta = \int_0^\pi (\cos(\theta - \tfrac{\pi}{2}))^{k-2}\cdot 1\operatorname{d}\!\theta = \int_{0-\tfrac{\pi}{2}}^{\pi - \tfrac{\pi}{2}} (\cos\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^\tfrac{\pi}{2}(\cos\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta$가 되어

1번과 일관성 정리와 적분 정리와 가법 정리로

$\begin{align*} B(\tfrac{k-1}{2},\tfrac{1}{2}) & = 2\cdot \left (\lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \int_a^b (\sin\theta)^{2\cdot \tfrac{k-1}{2} -1}\cdot (\cos \theta)^{2\cdot \tfrac{1}{2} -1} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = 2\cdot \left (\lim_{a\to 0+} \lim_{b\to \frac{\pi}{2}-} \int_a^b (\sin\theta)^{k-2}\cdot (\cos \theta)^{0} \operatorname{d}\!\theta \right ) \\[0.5em] & = 2\cdot \int_0^\tfrac{\pi}{2} (\sin\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_0^\tfrac{\pi}{2} (\sin\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta + \int_0^\tfrac{\pi}{2} (\sin\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_0^\tfrac{\pi}{2} (\sin\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta + \int_\tfrac{\pi}{2}^\pi (\sin\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_0^\pi (\sin\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta \\[0.5em] & = \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^\tfrac{\pi}{2}(\cos\theta)^{k-2} \operatorname{d}\!\theta \text{ 이고} \end{align*} $

2번과 위 정리로 $B(\tfrac{k-1}{2},\tfrac{1}{2}) = \dfrac{\Gamma(\tfrac{k-1}{2})\cdot \Gamma(\tfrac{1}{2})}{\Gamma(\tfrac{k-1}{2}+\tfrac{1}{2})} = \sqrt{\pi}\cdot \dfrac{\Gamma(\tfrac{k-1}{2})}{\Gamma(\tfrac{k}{2})}$이다.

2번과 위 정리로 $B(n,k) = \dfrac{\Gamma(n)\cdot \Gamma(k)}{\Gamma(n+k)} = \dfrac{(n-1)!\cdot (k-1)!}{(n+k-1)!}$이다.

$n - k +1 ,k+1 \in \mathbb{Z}^+$이므로 4번과 팩토리얼의 정의와 이항계수의 정의로

$\begin{align*} \dfrac{1}{(n+1)\cdot B(n-k+1,k+1)} & = \dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{1}{B(n-k+1,k+1)} \\[0.5em] & = \dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{1}{ \frac{(n-k+1-1)!\cdot (k+1 -1)!}{(n-k+1 + k+1 -1)!}} \\[0.5em] & = \dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{(n-k+1 + k+1 -1)!}{ (n-k+1-1)!\cdot (k+1 -1)!} \\[0.5em] & = \dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{(n+1)!}{ (n-k)!\cdot k! } \\[0.5em] & = \dfrac{1}{n+1}\cdot \dfrac{(n+1)\cdot n!}{ (n-k)!\cdot k! } \\[0.5em] & = \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \\[0.5em] & = \dbinom{n}{k}\text{ 이다.} \end{align*}$

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/143#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

정리의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/143#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380

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정의1

정리1

증명

정리2

증명

정리3

증명

정리4

증명

정리5

증명

정리6

증명

정리7

증명

정리8

증명

정리9

증명

정리10

증명

정리11

증명

정리12

증명

정리13

증명

정의2

정리14

증명

정리15

증명

정리16

증명

정리17

증명

정리18

증명

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